উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
M=−5+12−1,p=a+ib3 M=-5+12 \sqrt{-1}, p=\sqrt[3]{a+i b} এবং q=x+iy q=x+i y
- ক)(1)
1+2i 1+2 i কে আর্গন্ড চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর।
- খ)(2)
M এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
- গ)(3)
p=q p=q হলে, প্রমাণ কর যে, 4(x2−y2)=ax+by 4\left(x^{2}-y^{2}\right)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
আর্গন্ড সমতলে অনুভূমিক অক্ষকে বাস্তব অক্ষ (Real axis) এবং উলম্ব অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ (Imaginary axis) বিবেচনা করা হয়।
প্রদত্ত জটিল সংখ্যা: z = 1 + 2i
এখানে, বাস্তব অংশ Re(z) = 1 এবং কাল্পনিক অংশ Im(z) = 2।
অতএব, সংখ্যাটিকে আর্গন্ড সমতলে P(1, 2) বিন্দু দ্বারা নির্দেশ করা যায়, যার অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে বাস্তব অক্ষ বরাবর ধনাত্মক দিকে 1 একক এবং কাল্পনিক অক্ষ বরাবর ধনাত্মক দিকে 2 একক দূরত্বে অবস্থিত। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, M = -5 + 12√(-1) = -5 + 12i
এখন,
M = 4 + 12i - 9
= 2² + 2 · 2 · (3i) + (3i)² [যেহেতু (3i)² = 9i² = -9]
= (2 + 3i)²অতএব, M এর বর্গমূল:
√M = ±√(2 + 3i)²
= ±(2 + 3i) - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, p = ∛(a + ib) এবং q = x + iy
শর্তানুসারে, p = q
⇒ ∛(a + ib) = x + iy
উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
a + ib = (x + iy)³
⇒ a + ib = x³ + 3x²(iy) + 3x(iy)² + (iy)³
⇒ a + ib = x³ + 3ix²y - 3xy² - iy³ [যেহেতু i² = -1, i³ = -i]
⇒ a + ib = (x³ - 3xy²) + i(3x²y - y³)উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
a = x³ - 3xy²
⇒ a/x = x² - 3y² ...... (1)এবং b = 3x²y - y³
⇒ b/y = 3x² - y² ...... (2)এখন, (1) ও (2) যোগ করে পাই,
a/x + b/y = (x² - 3y²) + (3x² - y²)
⇒ a/x + b/y = 4x² - 4y²
⇒ a/x + b/y = 4(x² - y²)অর্থাৎ, 4(x² - y²) = a/x + b/y (প্রমাণিত)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও