গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $a^2 - 2ab - 2b - 1 = (a^2 - 1) - 2b(a+1) = (a+1)(a-1) - 2b(a+1) = \mathbf{(a+1)(a-1-2b)}$।

2. খ)

   $x^2 = 7 + 4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$, $x > 0$ হওয়ায় $x = 2 + \sqrt{3}$ এবং $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$।
   তাই $x - \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$।
   $\dfrac{x^6-1}{x^3} = x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = (2\sqrt{3})^3 + 3\cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = \mathbf{30\sqrt{3}}$।

3. গ)

   $P = \dfrac{\log\sqrt{27}+\log\sqrt{64}-\log\sqrt{1000}}{\log 6 - \log 5}$
   লব $= \dfrac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \dfrac{3}{2}\log 10 = \dfrac{3}{2}(\log 3 + 2\log 2 - \log 10) = \dfrac{3}{2}\log\dfrac{3\times 4}{10} = \dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5}$
   হর $= \log 6 - \log 5 = \log\dfrac{6}{5}$
   তাই $P = \dfrac{\frac{3}{2}\log\frac{6}{5}}{\log\frac{6}{5}} = \dfrac{3}{2}$। (দেখানো হলো)