পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ডান হাত স্ক্রু নিয়ম: দুটি ভেক্টরের সমতলে একটি ডান হাতি স্ক্রুকে উল্লম্বভাবে স্থাপন করে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘোরালে স্ক্রুটি যে অভিমুখে অগ্রসর হয়, সে অভিমুখই ভেক্টর দুটির গুণফলের (বা ভেক্টর গুণফলের) দিক নির্দেশ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমজাতীয় দুটি ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ (অর্থাৎ গুণাত্মক বিপরীত) হলে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। আবার, দুই বা ততোধিক ভেক্টর একই সরলরেখা বরাবর বা সমান্তরালে ক্রিয়া করলে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে। বিপ্রতীপ ভেক্টরদ্বয় সর্বদা একই রেখা বা সমান্তরাল রেখা বরাবর কাজ করে, ফলে তারা সমরেখ ভেক্টরের শর্ত সম্পূর্ণভাবে পূরণ করে। তাই একটি বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বিন্দু দুটি হলো $A(1, 0, 1)$ এবং $B(1, 1, 0)$।
   বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর:
   $\vec{r}_A = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$
   $\vec{r}_B = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j}$

   অতএব, $\vec{AB}$ ভেক্টরটি হবে:
   $\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (\hat{i} + \hat{j}) - (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{j} - \hat{k}$

   $\vec{AB}$ ভেক্টরের মান:
   $|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

   সুতরাং, $\vec{AB}$ এর সমান্তরালে একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \pm \frac{\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{2}}$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $A$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_A = \hat{i} + \hat{k}$
   $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j}$

   $X$-অক্ষের দিক বরাবর একক ভেক্টর হলো $\hat{i}$।

   $X$-অক্ষের উপর $\vec{r}_A$ এর লম্ব অভিক্ষেপ:
   $= \vec{r}_A \cdot \hat{i} = (\hat{i} + \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1 \cdot 1 + 0 = 1$

   $X$-অক্ষের উপর $\vec{r}_B$ এর লম্ব অভিক্ষেপ:
   $= \vec{r}_B \cdot \hat{i} = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot \hat{i} = 1 \cdot 1 + 0 = 1$

   তুলনামূলক বিশ্লেষণ:
   উভয় ভেক্টরেরই $X$-অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশের মান সমান (উভয়ের ক্ষেত্রে লম্ব অভিক্ষেপ $1$ একক)। অর্থাৎ, $X$-অক্ষের সাপেক্ষে $A$ এবং $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব অভিক্ষেপ পরস্পর সমান।