গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq \Rightarrow 5 - 3 = 4pq \Rightarrow pq = \frac{1}{2}$

   $(p+q)^2 + (p-q)^2 = 2(p^2+q^2) \Rightarrow 8 = 2(p^2+q^2) \Rightarrow p^2 + q^2 = 4$

   $\therefore 5pq(p^2+q^2) = 5\times\frac{1}{2}\times 4 = \mathbf{10}$

2. খ)

   দেওয়া আছে, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 194$

   $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 194 + 2 = 196 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$ (ধনাত্মক)

   $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 14 + 2 = 16 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4$ ($x > 1$ বলে ধনাত্মক)

   $\Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

   $x > 1$ হওয়ায় $x = 2 + \sqrt{3}$। ($2 - \sqrt{3} < 1$ বলে গ্রহণযোগ্য নয়)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $3m^2 - 7m + 3 = 0$। $m \neq 0$ বলে $m$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $3m + \frac{3}{m} = 7 \Rightarrow m + \frac{1}{m} = \frac{7}{3}$

   $\frac{m^6+1}{m^3} = m^3 + \frac{1}{m^3} = \left(m + \frac{1}{m}\right)^3 - 3\left(m + \frac{1}{m}\right)$
   $= \left(\frac{7}{3}\right)^3 - 3\times\frac{7}{3} = \frac{343}{27} - 7 = \frac{343 - 189}{27} = \frac{154}{27}$

   বামপক্ষ $= 27\left(\frac{m^6+1}{m^3}\right) = 27\times\frac{154}{27} = 154 =$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)