গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রমাণ: চিত্রে $S$ ও $T$ যথাক্রমে $PQ$ ও $PR$ এর মধ্যবিন্দু। $Q$ ও $T$ যুক্ত করি।

   $T$ বিন্দু $PR$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $QT$ হলো $\triangle PQR$ এর মধ্যমা। মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

   অতএব, $\triangle PQT = \dfrac{1}{2}\triangle PQR$ ... (i)

   আবার $S$ বিন্দু $PQ$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $\triangle PQT$ এ $ST$ একটি মধ্যমা।

   অতএব, $\triangle PST = \dfrac{1}{2}\triangle PQT$ ... (ii)

   (i) ও (ii) থেকে, $\triangle PST = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\triangle PQR = \dfrac{1}{4}\triangle PQR$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   প্রমাণ: দেওয়া আছে $PQ = QR = PR$, অর্থাৎ $\triangle PQR$ সমবাহু। $T$ হলো $PR$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $PT = \dfrac{1}{2}PR = \dfrac{1}{2}PQ$।

   সমবাহু ত্রিভুজে শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুগামী রেখা ঐ বাহুর ওপর লম্ব। তাই $QT \perp PR$ এবং $\triangle PQT$ সমকোণী ($\angle QTP = 90°$)।

   পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $PQ^2 = QT^2 + PT^2$

   বা, $QT^2 = PQ^2 - \left(\dfrac{PQ}{2}\right)^2 = PQ^2 - \dfrac{PQ^2}{4} = \dfrac{3PQ^2}{4}$

   অতএব, $4QT^2 = 3PQ^2$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   প্রশ্নে 'OR' ছাপার ভুল; এটি $QR$ হবে। অর্থাৎ প্রমাণ করতে হবে $2ST = QR$।

   অঙ্কন: $ST$ কে $U$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $TU = ST$ হয়। $R$ ও $U$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\triangle PST$ ও $\triangle RTU$ এ,

   $PT = TR$ ($T$ মধ্যবিন্দু)

   $ST = TU$ (অঙ্কনানুসারে)

   $\angle PTS = \angle RTU$ (বিপ্রতীপ কোণ)

   সুতরাং $\triangle PST \cong \triangle RTU$ (বাহু-কোণ-বাহু)

   অতএব, $PS = RU$ এবং $\angle PST = \angle TUR$। এ কোণ দুটি একান্তর কোণ, তাই $PQ \parallel RU$, অর্থাৎ $QS \parallel RU$।

   $S$ মধ্যবিন্দু বলে $QS = PS = RU$।

   চতুর্ভুজ $QSUR$ এর $QS$ ও $RU$ সমান ও সমান্তরাল, তাই এটি সামান্তরিক। সুতরাং $SU = QR$।

   কিন্তু $SU = ST + TU = 2ST$

   অতএব, $2ST = QR$ (প্রমাণিত)।