পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর (ডেল, $\vec{\nabla}$) এর সাথে কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্রস গুণনকে কার্ল বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বেগ একটি ভেক্টর রাশি, যার মান এবং দিক উভয়ই রয়েছে। কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করলে এর দ্রুতি (মানের দিক থেকে) অপরিবর্তিত থাকতে পারলেও বৃত্তের প্রতি বিন্দুতে গতির দিক ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। যেহেতু বেগের দিক পরিবর্তিত হয়, তাই বেগ স্থির থাকতে পারে না এবং একটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ সৃষ্টি হয়। সুতরাং, কোনো বস্তুর বৃত্তাকার পথে সমবেগে চলা সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   নদীর প্রস্থ, $d = 36\text{ m}$
   নৌকার বেগ, $u = 10\text{ m s}^{-1}$
   স্রোতের বেগ, $v = 3\text{ m s}^{-1}$
   স্রোতের দিকের সাথে নৌকার কোণ, $\alpha = 37^\circ$

   নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t = \frac{d}{u \sin\alpha} = \frac{36}{10 \times \sin 37^\circ} \approx \frac{36}{10 \times 0.6018} \approx 5.982\text{ s}$

   স্রোতের দিকে বা নদীর পাড় বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব (BC),
   $\text{BC} = (v + u \cos\alpha) \times t$
   $\text{BC} = (3 + 10 \cos 37^\circ) \times 5.982$
   $\text{BC} = (3 + 7.986) \times 5.982 = 10.986 \times 5.982 \approx 65.72\text{ m}$

   অতএব, নদীটির বিপরীত পাড়ের BC দূরত্ব প্রায় $65.72\text{ m}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নৌকাটিকে ঠিক বিপরীত পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগ $\vec{w}$ কে নদীর তীরের সাথে লম্ব বরাবর (অর্থাৎ $90^\circ$ কোণে) ক্রিয়া করতে হবে।

   ধরি, স্রোতের বেগের ($v$) সাথে $\alpha'$ কোণে নৌকা চালাতে হবে।
   লব্ধির দিক $\theta = 90^\circ$ হলে,
   $\tan 90^\circ = \frac{u \sin\alpha'}{v + u \cos\alpha'}$
   $\implies v + u \cos\alpha' = 0$
   $\implies \cos\alpha' = -\frac{v}{u}$
   $\implies \cos\alpha' = -\frac{3}{10} = -0.3$
   $\implies \alpha' = \cos^{-1}(-0.3) \approx 107.46^\circ$

   সুতরাং, নদীর বিপরীত পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে মাঝিকে স্রোতের দিকের সাথে প্রায় $107.46^\circ$ কোণে (বা উজানের দিকে নদীর তীরের সাথে $72.54^\circ$ কোণে) নৌকা চালাতে হবে।