Evaluate: lim⁡x→1(log⁡55x2)log⁡x52 \lim_{x o 1} (\log_5 5x^2)^{\frac{\log_x 5}{2}}

Question

Evaluate: lim⁡x→1(log⁡55x2)log⁡x52 \lim_{x 	o 1} (\log_5 5x^2)^{\frac{\log_x 5}{2}}

Accepted Answer

ক. e e

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সীমা:
$L = \lim_{x 	o 1} (\log_5 5x^2)^{\frac{\log_x 5}{2}}$

আমরা জানি, $\log_5 5x^2 = \log_5 5 + \log_5 x^2 = 1 + 2\log_5 x$
এবং $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$

ধরি, $y = \log_5 x$। যখন $x 	o 1$, তখন $y 	o 0$।

অতএব,
$L = \lim_{y 	o 0} (1 + 2y)^{\frac{1}{2y}}$

যেহেতু $\lim_{t 	o 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$, এখানে $t = 2y$ বিবেচনা করলে পাই:
$L = e$

গণিত প্রশ্ন