উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

A=sec⁡−15,B=12sin⁡−1pq,C=sin⁡−1rA = \sec^{-1}\sqrt{5}, B = \frac{1}{2} \sin^{-1}\frac{p}{q}, C = \sin^{-1}r
f(x)=sin⁡αx,g(x)=sin⁡βxf(x) = \sin\alpha x, g(x) = \sin\beta x

  1. ক)

    দেখাও যে, 2tan⁡−1x=tan⁡−12x1−x22\tan^{-1}x = \tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}

    (2)
  2. খ)

    p=3,q=5,r=110p = 3, q = 5, r = \frac{1}{\sqrt{10}} হলে, প্রমাণ কর যে, A−B+C=cot⁡−1(12)A - B + C = \cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

    (4)
  3. গ)

    α=1,β=3\alpha = 1, \beta = 3 হলে, −π-\pi হতে π\pi ব্যবধির মধ্যে 2f(x).g(x)=12f(x). g(x) = 1 সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, tan⁡−1x=θ  ⟹  x=tan⁡θ\tan^{-1}x = \theta \implies x = \tan\theta
    আমরা জানি,
    tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=2x1−x2\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{2x}{1 - x^2}
      ⟹  2θ=tan⁡−1(2x1−x2)\implies 2\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)
      ⟹  2tan⁡−1x=tan⁡−1(2x1−x2)\implies 2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=sec⁡−15=tan⁡−1(5)2−1=tan⁡−14=tan⁡−12A = \sec^{-1}\sqrt{5} = \tan^{-1}\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1} = \tan^{-1}\sqrt{4} = \tan^{-1}2
    B=12sin⁡−1(pq)=12sin⁡−1(35)B = \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)
    আমরা জানি, sin⁡−1(2x1+x2)=2tan⁡−1x\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = 2\tan^{-1}x অথবা ধরি 12sin⁡−1(35)=θ  ⟹  sin⁡2θ=35\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \theta \implies \sin 2\theta = \frac{3}{5}
      ⟹  2tan⁡θ1+tan⁡2θ=35  ⟹  3tan⁡2θ−10tan⁡θ+3=0\implies \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{3}{5} \implies 3\tan^2\theta - 10\tan\theta + 3 = 0
      ⟹  (3tan⁡θ−1)(tan⁡θ−3)=0\implies (3\tan\theta - 1)(\tan\theta - 3) = 0
    যেহেতু θ=12sin⁡−1(3/5)<π4\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(3/5) < \frac{\pi}{4}, তাই tan⁡θ=13<1\tan\theta = \frac{1}{3} < 1
    ∴B=tan⁡−1(13)\therefore B = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)
    আবার, C=sin⁡−1r=sin⁡−1(110)=tan⁡−1(1101−110)=tan⁡−1(1/103/10)=tan⁡−1(13)C = \sin^{-1}r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{10}}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)

    এখন,
    A−B+C=tan⁡−12−tan⁡−1(13)+tan⁡−1(13)A - B + C = \tan^{-1}2 - \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)
    =tan⁡−12=cot⁡−1(12)= \tan^{-1}2 = \cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
    ∴A−B+C=cot⁡−1(12)\therefore A - B + C = \cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, α=1,β=3\alpha = 1, \beta = 3
    ∴f(x)=sin⁡x\therefore f(x) = \sin x এবং g(x)=sin⁡3xg(x) = \sin 3x
    প্রদত্ত সমীকরণ:
    2f(x)g(x)=12f(x)g(x) = 1
      ⟹  2sin⁡3xsin⁡x=1\implies 2\sin 3x \sin x = 1
      ⟹  cos⁡(3x−x)−cos⁡(3x+x)=1\implies \cos(3x - x) - \cos(3x + x) = 1
      ⟹  cos⁡2x−cos⁡4x=1\implies \cos 2x - \cos 4x = 1
      ⟹  cos⁡2x−(2cos⁡22x−1)=1\implies \cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = 1
      ⟹  cos⁡2x−2cos⁡22x+1=1\implies \cos 2x - 2\cos^2 2x + 1 = 1
      ⟹  2cos⁡22x−cos⁡2x=0\implies 2\cos^2 2x - \cos 2x = 0
      ⟹  cos⁡2x(2cos⁡2x−1)=0\implies \cos 2x (2\cos 2x - 1) = 0

    হয়, cos⁡2x=0\cos 2x = 0
      ⟹  2x=(2n+1)π2  ⟹  x=(2n+1)π4\implies 2x = (2n + 1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2n + 1)\frac{\pi}{4}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}
    −π≤x≤π- \pi \le x \le \pi ব্যবধিতে:
    n=−2  ⟹  x=−3π4n = -2 \implies x = -\frac{3\pi}{4}
    n=−1  ⟹  x=−π4n = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4}
    n=0  ⟹  x=π4n = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}
    n=1  ⟹  x=3π4n = 1 \implies x = \frac{3\pi}{4}

    অথবা, 2cos⁡2x−1=0  ⟹  cos⁡2x=12=cos⁡(π3)2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
      ⟹  2x=2nπ±π3  ⟹  x=nπ±π6\implies 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}
    −π≤x≤π- \pi \le x \le \pi ব্যবধিতে:
    n=0  ⟹  x=±π6n = 0 \implies x = \pm \frac{\pi}{6}
    n=1  ⟹  x=π−π6=5π6n = 1 \implies x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} (যেহেতু π+π6>π\pi + \frac{\pi}{6} > \pi)
    n=−1  ⟹  x=−π+π6=−5π6n = -1 \implies x = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} (যেহেতু −π−π6<−π-\pi - \frac{\pi}{6} < -\pi)

    অতএব, নির্ণেয় সমাধানসমূহ:
    x=±π6,±π4,±3π4,±5π6x = \pm \frac{\pi}{6}, \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}, \pm \frac{5\pi}{6}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন