পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু ইচ্ছামতো পছন্দ করা যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বস্তুর ওপর বাহ্যিক বল প্রয়োগ করে সাম্যাবস্থা থেকে সরণ ঘটালে বস্তুটির স্থিতিস্থাপক ধর্মের জন্য এর অভ্যন্তরে যে বলের সৃষ্টি হয় এবং যা সরণের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় ফিরিয়ে আনতে চায়, তাকে প্রত্যয়নী বল বলে।

   প্রত্যয়নী বল সরণের বিপরীতমুখী হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 180^\circ$ হয়। কাজ $W = F s \cos\theta = F s \cos(180^\circ) = -Fs$। সুতরাং, বস্তুর সরণ যখন সাম্যাবস্থা থেকে বাইরের দিকে ঘটে (যেমন স্প্রিংকে প্রসারিত বা সংকুচিত করার সময়), তখন প্রত্যয়নী বল এবং সরণের দিক বিপরীতমুখী হওয়ায় প্রত্যয়নী বল দ্বারা কৃতকাজ ঋণাত্মক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   স্থির পানিতে নৌকার বেগ, $\vec{v} = (3\hat{i} + 3\hat{j})\text{ m s}^{-1}$
   স্রোতের বেগ, $\vec{u} = 2\hat{i}\text{ m s}^{-1}$

   উভয় ভেক্টরই নদীর জলতলে অবস্থিত। সুতরাং, নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একটি ভেক্টর পেতে হলে এই দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন নির্ণয় করতে হবে।

   $\vec{u} \times \vec{v} = (2\hat{i}) \times (3\hat{i} + 3\hat{j}) = 2 \times 3 (\hat{i} \times \hat{i}) + 2 \times 3 (\hat{i} \times \hat{j}) = \vec{0} + 6\hat{k} = 6\hat{k}$

   $\vec{u} \times \vec{v}$-এর মান, $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6^2} = 6$

   অতএব, নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একক ভেক্টর,
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \pm \frac{6\hat{k}}{6} = \pm \hat{k}$

   উত্তর: নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একক ভেক্টর $\pm \hat{k}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   নদীর প্রস্থ, $d = 2.5\text{ km} = 2500\text{ m}$

   প্রথম ক্ষেত্রে (AD বরাবর চালনা):
   নৌকার নিজস্ব বেগ, $\vec{v} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$
   স্রোতের বেগ, $\vec{u} = 2\hat{i}$
   লব্ধি বেগ, $\vec{w}_1 = \vec{u} + \vec{v} = (2\hat{i}) + (3\hat{i} + 3\hat{j}) = 5\hat{i} + 3\hat{j}$

   এখানে নদীর প্রস্থ বরাবর (y-অক্ষ বরাবর) বেগের উপাংশ, $v_{y1} = 3\text{ m s}^{-1}$

   অতএব, প্রথম ক্ষেত্রে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_1 = \frac{d}{v_{y1}} = \frac{2500}{3} \approx 833.33\text{ s}$

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (AB বরাবর চালনা):
   নৌকাটিকে একই দ্রুতিতে AB বরাবর (নদীর তীরের লম্ব অর্থাৎ y-অক্ষ বরাবর) চালনা করা হয়।
   নৌকার দ্রুতি, $v = |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ m s}^{-1} \approx 4.243\text{ m s}^{-1}$

   যেহেতু নৌকাটিকে সরাসরি AB বরাবর চালনা করা হয়, তাই নদীর প্রস্থ বরাবর এর বেগ হবে নৌকার সম্পূর্ণ দ্রুতি, অর্থাৎ $v_{y2} = 3\sqrt{2}\text{ m s}^{-1}$

   অতএব, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_2 = \frac{d}{v_{y2}} = \frac{2500}{3\sqrt{2}} \approx 589.26\text{ s}$

   যেহেতু $t_2 < t_1$, তাই দ্বিতীয় ক্ষেত্রে অর্থাৎ নৌকাটিকে AB বরাবর চালালে এটি আগে অপর তীরে পৌঁছাবে।