গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নে OCR ত্রুটির কারণে উভয় স্থানে '৩টি'-এর স্থলে 'এটি' মুদ্রিত হয়েছে; অর্থাৎ প্রথম বাক্সে ৩টি কালো এবং দ্বিতীয় বাক্সে ৩টি নীল বল রয়েছে।

ধরি, $B_1$ ও $B_2$ যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচনের ঘটনা এবং $E$ হলো নির্বাচিত বলটি নীল হওয়ার ঘটনা।

এখানে,
$P(B_1) = \frac{1}{2}, \quad P(B_2) = \frac{1}{2}$

প্রথম বাক্সে বল সংখ্যা: ১টি নীল ও ৩টি কালো (মোট ৪টি বল)
$\therefore P(E|B_1) = \frac{1}{4}$

দ্বিতীয় বাক্সে বল সংখ্যা: ৩টি নীল ও ৪টি কালো (মোট ৭টি বল)
$\therefore P(E|B_2) = \frac{3}{7}$

(i) বলটি নীল হওয়ার সম্ভাব্যতা:
$P(E) = P(B_1) P(E|B_1) + P(B_2) P(E|B_2)$
$= \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}\right)$
$= \frac{1}{8} + \frac{3}{14} = \frac{7 + 12}{56} = \frac{19}{56}$

(ii) বলটি নীল হলে সেটি প্রথম বাক্স থেকে আসার সম্ভাব্যতা:
$P(B_1|E) = \frac{P(B_1) P(E|B_1)}{P(E)}$
$= \frac{\frac{1}{8}}{\frac{19}{56}} = \frac{7}{19}$