উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   4x² - 9y² = 36
   বা, (x²/9) - (y²/4) = 1
   বা, x²/3² - y²/2² = 1

   আমরা জানি, x²/a² - y²/b² = 1 অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ হলো:
   y = ± (b/a)x
   এখানে, a = 3 এবং b = 2।
   অতএব, অসীমতটের সমীকরণ:
   y = ± (2/3)x
   বা, 3y = ± 2x
   বা, 2x ± 3y = 0। (উত্তর)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত কণিকের সমীকরণ:
   x = ay² + by + c
   এটি একটি পরাবৃত্ত যার অক্ষরেখা x-অক্ষের সমান্তরাল।
   শীর্ষবিন্দু (h, k) = (1, 2) বিশিষ্ট এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   (y - k)² = 4A(x - h)
   বা, (y - 2)² = 4A(x - 1) ... (i)

   যেহেতু পরাবৃত্তটি (3, -2) বিন্দুগামী, সুতরাং:
   (-2 - 2)² = 4A(3 - 1)
   বা, (-4)² = 4A(2)
   বা, 16 = 8A
   বা, A = 2

   A এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   (y - 2)² = 4(2)(x - 1)
   বা, y² - 4y + 4 = 8(x - 1)
   বা, 8x - 8 = y² - 4y + 4
   বা, 8x = y² - 4y + 12
   বা, x = (1/8)y² - (4/8)y + (12/8)
   বা, x = (1/8)y² - (1/2)y + (3/2)

   প্রদত্ত সমীকরণ x = ay² + by + c এর সাথে তুলনা করে পাই:
   a = 1/8,
   b = -1/2,
   c = 3/2। (উত্তর)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x, y) = 2x² + y² - 8x - 2y + 1
   শর্তানুসারে, f(x, y) = 0
   বা, 2x² + y² - 8x - 2y + 1 = 0
   বা, 2(x² - 4x) + (y² - 2y) + 1 = 0
   বা, 2(x² - 4x + 4) + (y² - 2y + 1) + 1 - 8 - 1 = 0
   বা, 2(x - 2)² + (y - 1)² = 8
   বা, [(x - 2)² / 4] + [(y - 1)² / 8] = 1 ... (i)

   ধরি, X = x - 2, Y = y - 1, a² = 4 (a = 2) এবং b² = 8 (b = 2√2)।
   সমীকরণটি দাঁড়ায়: X²/a² + Y²/b² = 1
   যেহেতু a ≠ b এবং উভয়ের সহগ ধনাত্মক, সুতরাং এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। (দেখানো হলো)

   যেহেতু b > a, উপবৃত্তটির প্রধান অক্ষ Y-অক্ষের সমান্তরাল।
   উৎকেন্দ্রিকতা, e = √(1 - a²/b²) = √(1 - 4/8) = √(1 - 1/2) = 1/√2

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
   (X, Y) = (0, ± be)
   এখানে, be = 2√2 × (1/√2) = 2
   অতএব, X = 0 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2
   এবং Y = ± 2 ⇒ y - 1 = ± 2
   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে, y = 3
   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, y = -1
   সুতরাং, উপকেন্দ্রদ্বয়: (2, 3) এবং (2, -1)।

   নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   Y = ± b/e
   বা, y - 1 = ± (2√2) / (1/√2)
   বা, y - 1 = ± (2√2 × √2)
   বা, y - 1 = ± 4
   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে, y - 1 = 4 ⇒ y - 5 = 0
   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, y - 1 = -4 ⇒ y + 3 = 0
   সুতরাং, নিয়ামক রেখার সমীকরণ: y - 5 = 0 এবং y + 3 = 0 (বা y - 1 = ± 4)। (উত্তর)