পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। এর কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না এবং এর পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বল দ্বারা কোনো বস্তুকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে পুনরায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরিয়ে আনলে মোট কৃতকাজের পরিমাণ শূন্য হয় না, তাকে অসংরক্ষণশীল বল বলে।

   ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ সবসময় গতির বিপরীত দিকে বাধার সৃষ্টি করে এবং শক্তির অপচয় ঘটায় (তাপ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়)। একটি পূর্ণ চক্রে ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ কখনই শূন্য হতে পারে না, বরং সর্বদা ঋণাত্মক হয়। অপচয়কৃত শক্তি স্বতঃস্ফূর্তভাবে পুনরুদ্ধার করা যায় না। তাই ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   মূলবিন্দু $O(0, 0, 0)$ এর সাপেক্ষে $A$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
   $\vec{OA} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$

   এবং $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
   $\vec{OB} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$

   অতএব, $A$ ও $B$ সংযোগকারী ভেক্টর,
   $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
   $= (4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
   $= (4 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (-3 - 1)\hat{k}$
   $= 2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$

   সুতরাং, $\vec{AB}$ ভেক্টরের মান:
   $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21} \approx 4.58$ একক।

   উত্তর: $\sqrt{21}$ একক (বা প্রায় $4.58$ একক)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে ত্রিভুজ $\triangle OAB$-এর শীর্ষবিন্দুসমূহ হলো $O(0,0,0)$, $A(2,3,1)$ এবং $B(4,2,-3)$।

   ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
   ১. $OA = |\vec{OA}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ একক
   $\therefore OA^2 = 14$

   ২. $OB = |\vec{OB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$ একক
   $\therefore OB^2 = 29$

   ৩. 'গ' হতে পাই,
   $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{21}$ একক
   $\therefore AB^2 = 21$

   এখানে বাহু তিনটির মধ্যে বৃহত্তম বাহু $OB$।
   এখন ক্ষুদ্রতর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি:
   $OA^2 + AB^2 = 14 + 21 = 35$

   যেহেতু, $OA^2 + AB^2 \neq OB^2$ ($35 \neq 29$),
   তাই ত্রিভুজটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমর্থন করে না।

   [অন্যভাবে, চিত্রে $\angle AOB = \alpha = 60^\circ$ দেওয়া আছে। অবশিষ্ট কোণগুলো ডট গুণন দ্বারা যাচাই করলেও দেখা যায় $\vec{OA} \cdot \vec{AB} = 2(2) + 3(-1) + 1(-4) = 4 - 3 - 4 = -3 \neq 0$ এবং $\vec{OB} \cdot \vec{BA} = -(\vec{OB} \cdot \vec{AB}) = -(4(2) + 2(-1) - 3(-4)) = -(8 - 2 + 12) = -18 \neq 0$। অর্থাৎ কোনো কোণই $90^\circ$ নয়।]

   অতএব, উদ্দীপকের ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।