উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: (y^2 = 32x = 4 \cdot 8 \cdot x)
   এখানে, (a = 8)।
   ধরি, পরাবৃত্তস্থ বিন্দুটি (P(x_1, y_1))।
   আমরা জানি, (y^2 = 4ax) পরাবৃত্তস্থ যেকোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব = (x_1 + a)
   প্রশ্নমতে,
   (x_1 + 8 = 10)
   (\Rightarrow x_1 = 2)
   বিন্দুটি পরাবৃত্তের ওপর অবস্থিত হওয়ায়,
   (y_1^2 = 32(2) = 64)
   (\Rightarrow y_1 = \pm 8)

   অতএব, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ((2, 8)) অথবা ((2, -8))।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা (e = 1), তাই কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র (S(7, 3)) এবং শীর্ষবিন্দু (A(-1, 3))।
   লক্ষ করি, (S) ও (A) বিন্দুদ্বয়ের কোটি সমান (উভয়টির কোটি 3)।
   সুতরাং, অক্ষরেখাটি (x)-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর সমীকরণ (y = 3) বা (y - 3 = 0)।

   শীর্ষ (A) হতে উপকেন্দ্র (S)-এর দূরত্ব, (a = 7 - (-1) = 8)।
   পরাবৃত্তের অক্ষ (x)-অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্র শীর্ষবিন্দুর ডানে অবস্থিত (যেহেতু (7 > -1)), তাই পরাবৃত্তটি ধনাত্মক (x)-অক্ষের দিকে উন্মুক্ত।

   সুতরাং, পরাবৃত্তটির সমীকরণ হবে:
   ((y - k)^2 = 4a(x - h))
   এখানে শীর্ষবিন্দু ((h, k) = (-1, 3)) এবং (a = 8)।
   (\Rightarrow (y - 3)^2 = 4 \cdot 8 \cdot (x - (-1)))
   (\Rightarrow (y - 3)^2 = 32(x + 1))
   (\Rightarrow y^2 - 6y + 9 = 32x + 32)
   (\Rightarrow y^2 - 32x - 6y - 23 = 0)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা (e = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1), সুতরাং কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
   উপকেন্দ্র ও শীর্ষের সংযোগকারী রেখাংশ (SA)-কে বৃহদাক্ষ ধরা হয়েছে।
   এখানে, (S(7, 3)) এবং (A(-1, 3))।
   বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, (2a = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8)
   (\Rightarrow a = 4)

   যেহেতু বৃহদাক্ষ (x)-অক্ষের সমান্তরাল (কোটিদ্বয় সমান = 3):
   বৃহদাক্ষের মধ্যবিন্দুই উপবৃত্তটির কেন্দ্র (C):
   (C = \left(\frac{7 + (-1)}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = (3, 3))

   আমরা জানি, (e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2})
   (\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{b^2}{4^2})
   (\Rightarrow \frac{3}{4} = 1 - \frac{b^2}{16})
   (\Rightarrow \frac{b^2}{16} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4})
   (\Rightarrow b^2 = 4)

   যেহেতু কেন্দ্র ((h, k) = (3, 3)) এবং বৃহদাক্ষ (x)-অক্ষের সমান্তরাল, তাই উপবৃত্তের সমীকরণ:
   (\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1)
   (\Rightarrow \frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1)
   (\Rightarrow \frac{x^2 - 6x + 9}{16} + \frac{y^2 - 6y + 9}{4} = 1)
   (\Rightarrow (x^2 - 6x + 9) + 4(y^2 - 6y + 9) = 16)
   (\Rightarrow x^2 + 4y^2 - 6x - 24y + 9 + 36 - 16 = 0)
   (\Rightarrow x^2 + 4y^2 - 6x - 24y + 29 = 0)।