∫0π4(tan⁡2xsec⁡2x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} ( an^2 x \sec^2 x) dx এর মান কোনটি?

Question

∫0π4(tan⁡2xsec⁡2x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (	an^2 x \sec^2 x) dx এর মান কোনটি?

Accepted Answer

ঘ. 13\frac{1}{3}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^2 x \sec^2 x \, dx$$

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে:
ধরি, $u = 	an x$
সুতরাং, $du = \sec^2 x \, dx$

সীমা পরিবর্তন:
- যখন $x = 0$, তখন $u = 	an 0 = 0$
- যখন $x = \frac{\pi}{4}$, তখন $u = 	an\left(\frac{\pi}{4}ight) = 1$

তাহলে সমাকলনটি দাঁড়ায়:
$$I = \int_{0}^{1} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} ight]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{3}$ (অপশন 4)।

গণিত প্রশ্ন