উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো নমুনাক্ষেত্রে A এবং B দুইটি নির্ভরশীল ঘটনা।
   শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,
   A ঘটনাটি ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনা,
   P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A); যেখানে P(A) > 0
   বা, P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

   অনুরূপভাবে, B ঘটনাটি ঘটার সাপেক্ষে A ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনা,
   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B); যেখানে P(B) > 0
   বা, P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)

   অতএব, নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি হলো:
   P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বাক্সে মোট বলের সংখ্যা = 3 + 6 + 7 + 5 + 4 + 9 + 8 = 42 টি।
   মোট 42টি বল থেকে দৈবভাবে 3টি বল নির্বাচনের মোট উপায় = ⁴²C₃
   = (42 × 41 × 40) / (3 × 2 × 1) = 11480।

   লাল বল আছে 7টি। অতএব, 7টি লাল বল থেকে 3টি লাল বল তোলার উপায় = ⁷C₃ = 35।
   সবুজ বল আছে 5টি। অতএব, 5টি সবুজ বল থেকে 3টি সবুজ বল তোলার উপায় = ⁵C₃ = 10।
   যেহেতু একটি বল একই সাথে লাল ও সবুজ হতে পারে না, ঘটনা দুটি পরস্পর বর্জনশীল।

   সুতরাং, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা:
   P = (⁷C₃ + ⁵C₃) / ⁴²C₃
   = (35 + 10) / 11480
   = 45 / 11480
   = 9 / 2296।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো: 3, 6, 7, 5, 4, 9, 8
   এখানে মোট পদসংখ্যা, n = 7

   গড়, x̄ = ∑xi / n
   = (3 + 6 + 7 + 5 + 4 + 9 + 8) / 7
   = 42 / 7 = 6

   ভেদাঙ্ক, σ² = ∑(xi - x̄)² / n

   এখানে,
   (3 - 6)² = (-3)² = 9
   (6 - 6)² = 0² = 0
   (7 - 6)² = 1² = 1
   (5 - 6)² = (-1)² = 1
   (4 - 6)² = (-2)² = 4
   (9 - 6)² = 3² = 9
   (8 - 6)² = 2² = 4

   অতএব, ∑(xi - x̄)² = 9 + 0 + 1 + 1 + 4 + 9 + 4 = 28

   সুতরাং, নির্ণেয় ভেদাঙ্ক (σ²) = 28 / 7 = 4।