উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি,
   $\vec{A} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = 2\hat{i} + \mu\hat{j} - 2\hat{k}$

   ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন শূন্য হবে।
   $\therefore \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
   $\implies (1)(2) + (-2)(\mu) + (1)(-2) = 0$
   $\implies 2 - 2\mu - 2 = 0$
   $\implies -2\mu = 0$
   $\implies \mu = 0$

   অতএব, $\mu = 0$ হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, $OR$ রেখার সমীকরণ $y = -2x$।
   সুতরাং, $OR$ রেখার ঢাল $m_1 = -2$।

   $AB$ সরলরেখাটি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে অতিক্রম করে।
   ধরি, $AB$ রেখার ঢাল $m$।
   অতএব, $AB$ রেখার সমীকরণ $y = mx$ ... (i)

   চিত্রানুযায়ী, $OR$ এবং $AB$ রেখার মধ্যবর্তী কোণ $45^\circ$।
   $\therefore \tan 45^\circ = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$
   $\implies 1 = \pm \frac{m - (-2)}{1 + m(-2)}$
   $\implies 1 = \pm \frac{m + 2}{1 - 2m}$

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $1 - 2m = m + 2$
   $\implies -3m = 1$
   $\implies m = -\frac{1}{3}$

   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $1 - 2m = -(m + 2)$
   $\implies 1 - 2m = -m - 2$
   $\implies -m = -3$
   $\implies m = 3$

   চিত্রানুযায়ী, $AB$ সরলরেখাটি ১ম ও ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায় এর ঢাল ধনাত্মক, অর্থাৎ $m > 0$।
   $\therefore m = 3$

   $m$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $y = 3x$
   বা, $3x - y = 0$

   অতএব, নির্ণেয় $AB$ সরলরেখার সমীকরণ $3x - y = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $OPQR$ একটি সামান্তরিক, যার $O(0, 0)$ মূলবিন্দু এবং $P$ বিন্দুটি $X$-অক্ষের উপর অবস্থিত।
   $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4, 2)$।

   যেহেতু $OP$ বাহু $X$-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং $OPQR$ একটি সামান্তরিক, সেহেতু $QR$ বাহুটি $OP$-এর সমান্তরাল, অর্থাৎ $X$-অক্ষের সমান্তরাল।
   সুতরাং, $R$ বিন্দুর কোটি = $Q$ বিন্দুর কোটি = $2$।

   যেহেতু $R$ বিন্দুটি $y = -2x$ রেখার উপর অবস্থিত:
   $2 = -2x \implies x = -1$
   অতএব, $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-1, 2)$।

   $QR$-এর দৈর্ঘ্য = $|-1 - (-4)| = 3$ একক।
   সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান হওয়ায়, $OP = QR = 3$ একক।
   যেহেতু $P$ বিন্দুটি $X$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত, তাই $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-3, 0)$।

   এখন, $P(-3, 0)$ এবং $R(-1, 2)$ বিন্দুগামী $PR$ কর্ণের সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{2 - 0} = \frac{x - (-3)}{-1 - (-3)}$
   $\implies \frac{y}{2} = \frac{x + 3}{2}$
   $\implies y = x + 3$
   $\implies x - y + 3 = 0$

   অতএব, $PR$ কর্ণের সমীকরণ $x - y + 3 = 0$।