উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$
   আমরা লিখতে পারি,
   $\cos x = \frac{1}{2}[(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)]$
   $\therefore I = \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx$
   $= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx$
   $= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |\cos x + \sin x| + c$ (যেখানে $c$ সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^3 x \, dx$
   $= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$
   ধরি, $\cos x = z^2 \implies -\sin x dx = 2z dz \implies \sin x dx = -2z dz$
   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, $z = 1$
   যখন $x = \frac{\pi}{2}$, $z = 0$

   $\therefore I = \int_1^0 z (1 - z^4) (-2z dz)$
   $= 2 \int_0^1 (z^2 - z^6) dz$
   $= 2 \left[ \frac{z^3}{3} - \frac{z^7}{7} \right]_0^1$
   $= 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) = 2 \times \frac{4}{21} = \frac{8}{21}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0$
   $x$-অক্ষের সমীকরণ: $y = 0$
   $y = 0$ বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $x^2 + 6x - 15 = 0$
   $\implies x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$
   ধরি, ছেদবিন্দুর ভুজদ্বয় $\alpha = -3 - 2\sqrt{6}$ এবং $\beta = -3 + 2\sqrt{6}$।
   বৃত্তের সমীকরণটিকে লেখা যায়:
   $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 25$
   $\implies (y-1)^2 = 25 - (x+3)^2$
   $\implies y = 1 \pm \sqrt{25 - (x+3)^2}$
   ক্ষুদ্রতর অংশের জন্য $y = 1 - \sqrt{25 - (x+3)^2}$ (যেহেতু কেন্দ্র $(-3, 1)$ $x$-অক্ষের উপরে অবস্থিত এবং জ্যা-এর নিচের অংশ ক্ষুদ্রতর)।
   অতএব, $x$-অক্ষ এবং বৃত্তের নিম্নস্থ বৃত্তচাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{\alpha}^{\beta} (0 - y) dx = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ \sqrt{25 - (x+3)^2} - 1 \right] dx$
   ধরি, $x + 3 = 5\sin\theta$, তাহলে $dx = 5\cos\theta d\theta$
   যখন $x = -3 - 2\sqrt{6}$, $\sin\theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5} = -\sin\theta_0$
   যখন $x = -3 + 2\sqrt{6}$, $\sin\theta = \frac{2\sqrt{6}}{5} = \sin\theta_0$, যেখানে $\theta_0 = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$
   $\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{25 - (x+3)^2} dx = \int_{-\theta_0}^{\theta_0} 25\cos^2\theta d\theta = 25 \int_0^{\theta_0} (1 + \cos 2\theta) d\theta$
   $= 25 \left[ \theta_0 + \frac{1}{2}\sin 2\theta_0 \right] = 25 \theta_0 + 25 \sin\theta_0 \cos\theta_0$
   যেহেতু $\sin\theta_0 = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\cos\theta_0 = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$
   তাহলে ক্ষেত্রফলের প্রথম অংশ $= 25 \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 25 \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)\left(\frac{1}{5}\right) = 25 \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\sqrt{6}$
   এবং $\int_{\alpha}^{\beta} 1 dx = \beta - \alpha = 4\sqrt{6}$
   সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল:
   $A = 25 \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 25 \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - 2\sqrt{6} \approx 25(1.3694) - 4.899 \approx 29.336 \text{ বর্গ একক}$