উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: ΔXYZ এ cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z \Delta \mathrm{XYZ} এ \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2 \sqrt{1+n} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-n} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3 \tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α \cos \beta=\frac{\cos \alpha-n}{1-n \cos \alpha}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    tan 75° = tan (45° + 30°)
    = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° · tan 30°)
    = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3)
    = (√3 + 1) / (√3 - 1)
    লব ও হরকে (√3 + 1) দ্বারা গুণ করে পাই,
    = (√3 + 1)² / (3 - 1)
    = (3 + 2√3 + 1) / 2
    = (4 + 2√3) / 2
    = 2 + √3। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ হতে,
    cos X = sin Y - cos Z
    বা, cos X + cos Z = sin Y
    বা, 2 cos((X + Z)/2) cos((X - Z)/2) = 2 sin(Y/2) cos(Y/2)

    যেহেতু ΔXYZ এ X + Y + Z = π, সুতরাং (X + Z)/2 = π/2 - Y/2
    অতএব, cos((X + Z)/2) = sin(Y/2)

    বা, 2 sin(Y/2) cos((X - Z)/2) = 2 sin(Y/2) cos(Y/2)
    যেহেতু ত্রিভুজের কোণ Y ≠ 0, তাই sin(Y/2) ≠ 0। উভয়পক্ষকে 2 sin(Y/2) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    cos((X - Z)/2) = cos(Y/2)

    বা, (X - Z)/2 = Y/2
    বা, X - Z = Y
    বা, X = Y + Z

    আমরা জানি, X + Y + Z = 180°
    বা, X + X = 180°
    বা, 2X = 180°
    বা, X = 90°

    যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ সমকোণ (X = 90°), তাই ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে,
    √(1 + n) · tan(α/2) = √(1 - n) · tan(β/2)
    বা, tan(β/2) = √[(1 + n)/(1 - n)] · tan(α/2)
    উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
    tan²(β/2) = [(1 + n)/(1 - n)] · tan²(α/2)

    আমরা জানি,
    cos β = [1 - tan²(β/2)] / [1 + tan²(β/2)]

    tan²(β/2) এর মান বসিয়ে পাই,
    cos β = [1 - {(1 + n)/(1 - n)} tan²(α/2)] / [1 + {(1 + n)/(1 - n)} tan²(α/2)]
    = [(1 - n) - (1 + n) tan²(α/2)] / [(1 - n) + (1 + n) tan²(α/2)]
    = [ (1 - tan²(α/2)) - n(1 + tan²(α/2)) ] / [ (1 + tan²(α/2)) - n(1 - tan²(α/2)) ]

    লব ও হরকে (1 + tan²(α/2)) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    cos β = [ {1 - tan²(α/2)}/{1 + tan²(α/2)} - n ] / [ 1 - n · {1 - tan²(α/2)}/{1 + tan²(α/2)} ]

    যেহেতু cos α = [1 - tan²(α/2)] / [1 + tan²(α/2)],
    অতএব,
    cos β = (cos α - n) / (1 - n cos α)। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন