উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত নির্ণায়ক,
   $D = \begin{vmatrix} 1 & a & a-2 \\ 2 & b & b-4 \\ 3 & c & c-6 \end{vmatrix}$

   কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করে, $C_3' = C_3 - C_2 + 2C_1$:
   $D = \begin{vmatrix} 1 & a & (a - 2) - a + 2(1) \\ 2 & b & (b - 4) - b + 2(2) \\ 3 & c & (c - 6) - c + 2(3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & b & 0 \\ 3 & c & 0 \end{vmatrix}$

   যেহেতু ৩য় কলামের প্রতিটি ভুক্তি শূন্য, সুতরাং নির্ণায়কের মান শূন্য।
   অতএব, বিস্তার না করেই প্রমাণিত হলো যে, নির্ণায়কের মান $0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ এবং বহুপদী ফাংশন $f(x) = x^2 + 3x - 5I$ (প্রশ্নে ৫১ সংখ্যাটি মূলত $5I$):

   $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4+0+2 & 0+0+1 & 2+0+3 \\ 6+12+4 & 0+16+2 & 3+8+6 \\ 4+3+6 & 0+4+3 & 2+2+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 22 & 18 & 17 \\ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix}$

   $3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 9 & 12 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}$

   $5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

   অতএব,
   $f(A) = A^2 + 3A - 5I$
   $= \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 22 & 18 & 17 \\ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 9 & 12 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 6+6-5 & 1+0-0 & 5+3-0 \\ 22+9-0 & 18+12-5 & 17+6-0 \\ 13+6-0 & 7+3-0 & 13+9-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 8 \\ 31 & 25 & 23 \\ 19 & 10 & 17 \end{bmatrix}$

   (উল্লেখ্য, যদি ধ্রুবক পদ ৫১ হিসেবে নেওয়া হয়, তবে $51I$ বিয়োগ করলে ফলাফল হবে $\begin{bmatrix} -39 & 1 & 8 \\ 31 & -21 & 23 \\ 19 & 10 & -29 \end{bmatrix}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

   নির্ণায়ক $|A|$ এর মান:
   $|A| = 2(12 - 2) - 0(9 - 4) + 1(3 - 8) = 2(10) - 0 + 1(-5) = 20 - 5 = 15 \neq 0$
   যেহেতু $|A| \neq 0$, তাই $A^{-1}$ বিদ্যমান।

   $A$ এর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
   $A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10$
   $A_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9 - 4) = -5$
   $A_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$

   $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$
   $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$
   $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$

   $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4$
   $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 3) = -1$
   $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 0 = 8$

   অতএব, অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10 & 1 & -4 \\ -5 & 4 & -1 \\ -5 & -2 & 8 \end{bmatrix}$

   সুতরাং,
   $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} 10 & 1 & -4 \\ -5 & 4 & -1 \\ -5 & -2 & 8 \end{bmatrix}$।