পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু ইচ্ছামতো পছন্দ করা যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান শূন্য, তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। নাল ভেক্টরের আদিবিন্দু ও প্রান্তবিন্দু একই বিন্দুতে সমাপতিত হয়। কোনো ভেক্টরের দিক নির্দেশ করার জন্য আদিবিন্দু থেকে প্রান্তবিন্দুর অভিমুখ প্রয়োজন হয়। কিন্তু নাল ভেক্টরের ক্ষেত্রে কোনো সুনির্দিষ্ট রেখাংশ বা অভিমুখ না থাকায় এর কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না। তাই নাল ভেক্টরের দিক অনির্ণেয় বা যে কোনো দিকে ধরা যেতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই,
   প্রথম ভেক্টর, $F_1 = 4\text{ N}$, যা পূর্ব দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করে $\theta_1 = 60^\circ$।
   দ্বিতীয় ভেক্টর, $F_2 = 4\text{ N}$, যা উত্তর দিকের সাথে পশ্চিম দিকে কোণ উৎপন্ন করে $\theta_2 = 30^\circ$।

   সুতরাং, পূর্ব ও উত্তর দিকের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ হওয়ায়, $F_1$ ও উত্তর দিকের মধ্যবর্তী কোণ $= 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$।
   অতএব, $F_1$ এবং $F_2$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$।

   আমরা জানি, কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু $\vec{F}_1$ ও $\vec{F}_2$ দ্বারা নির্দেশিত হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল হবে:
   $\text{ক্ষেত্রফল} = |\vec{F}_1 \times \vec{F}_2| = F_1 F_2 \sin \alpha$
   $= 4 \times 4 \times \sin 60^\circ$
   $= 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86\text{ sq. units}$

   উত্তর: সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল $8\sqrt{3}$ বা প্রায় $13.86$ বর্গ একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুসারে, পূর্ব (East) দিককে ধনাত্মক x-অক্ষ এবং উত্তর (North) দিককে ধনাত্মক y-অক্ষ বিবেচনা করি।

   ভেক্টর তিনটির মান ও ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ:
   ১. $\vec{F}_1$-এর মান $F_1 = 4\text{ N}$, কোণ $\alpha_1 = 60^\circ$
   ২. $\vec{F}_2$-এর মান $F_2 = 4\text{ N}$, কোণ $\alpha_2 = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$
   ৩. $\vec{F}_3$-এর মান $F_3 = 4\text{ N}$, যা পশ্চিম দিকের সাথে নিচের দিকে $45^\circ$ কোণে অবস্থিত; সুতরাং ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে এর কোণ $\alpha_3 = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$

   ভেক্টর তিনটির লব্ধি $\vec{R}$ হলে, এর অনুভূমিক উপাংশ $R_x$ এবং উলম্ব উপাংশ $R_y$ হবে:
   $R_x = F_1 \cos \alpha_1 + F_2 \cos \alpha_2 + F_3 \cos \alpha_3$
   $= 4 \cos 60^\circ + 4 \cos 120^\circ + 4 \cos 225^\circ$
   $= 4(0.5) + 4(-0.5) + 4(-\frac{1}{\sqrt{2}})$
   $= 2 - 2 - 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}\text{ N} \approx -2.828\text{ N}$

   $R_y = F_1 \sin \alpha_1 + F_2 \sin \alpha_2 + F_3 \sin \alpha_3$
   $= 4 \sin 60^\circ + 4 \sin 120^\circ + 4 \sin 225^\circ$
   $= 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{\sqrt{2}})$
   $= 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \approx 6.928 - 2.828 = 4.10\text{ N}$

   যেহেতু $R_x$ ঋণাত্মক এবং $R_y$ ধনাত্মক, সেহেতু লব্ধি ভেক্টরটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অর্থাৎ উত্তর-পশ্চিম দিকে ক্রিয়াশীল।

   লব্ধি বলটি যদি ঋণাত্মক x-অক্ষ তথা পশ্চিম (West) দিকের সাথে উত্তর দিকে $\theta$ কোণ তৈরি করে, তবে:
   $\tan \theta = \left|\frac{R_y}{R_x}\right| = \frac{4.10}{2.828} \approx 1.45$
   $\Rightarrow \theta = \tan^{-1}(1.45) \approx 55.41^\circ$

   সুতরাং, ভেক্টর তিনটির মিলিত ফল বা লব্ধি বল পশ্চিম দিকের সাথে $55.41^\circ$ কোণে উত্তর দিকে (অথবা পূর্ব দিকের সাথে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $124.59^\circ$ কোণে) ক্রিয়া করবে।