উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ: $y = 3x(1+x) = 3x + 3x^2$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{dy}{dx} = 3 + 6x$

   মূলবিন্দুতে $(0,0)$ স্পর্শকের ঢাল:
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = 3 + 6(0) = 3$

   আমরা জানি, অভিলম্বের ঢাল $= -\frac{1}{\text{স্পর্শকের ঢাল}}$
   অতএব, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল $= -\frac{1}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $f(z) = \frac{z^2}{(1+z^2)^2}$
   অতএব, $f(e^x) = \frac{(e^x)^2}{(1+(e^x)^2)^2} = \frac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}$

   প্রদত্ত যোগজ: $I = \int_0^{\ln 2} \frac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^2} \, dx$

   ধরি, $u = 1 + e^{2x}$
   তাহলে, $du = 2e^{2x} \, dx \implies e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \, du$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $u = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$
   যখন $x = \ln 2$, তখন $u = 1 + e^{2\ln 2} = 1 + e^{\ln 4} = 1 + 4 = 5$

   সুতরাং,
   $I = \int_2^5 \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} \, du$
   $= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_2^5$
   $= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right)$
   $= -\frac{1}{2} \left( -\frac{3}{10} \right)$
   $= \frac{3}{20}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে, $g(x) = e^{a\cos^{-1}(2x)}$

   উভয়পক্ষে $\ln$ নিয়ে পাই:
   $\ln g(x) = a\cos^{-1}(2x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে:
   $\frac{1}{g(x)} g'(x) = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 \right) = -\frac{2a}{\sqrt{1-4x^2}}$
   $\implies \sqrt{1-4x^2} \, g'(x) = -2a \, g(x)$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
   $(1-4x^2) [g'(x)]^2 = 4a^2 [g(x)]^2$

   এখন পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $(-8x)[g'(x)]^2 + (1-4x^2) \cdot 2g'(x)g''(x) = 4a^2 \cdot 2g(x)g'(x)$
   $\implies 2g'(x) \left[ (1-4x^2)g''(x) - 4x g'(x) \right] = 8a^2 g(x)g'(x)$

   উভয়পক্ষকে $2g'(x)$ দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু $g'(x) \neq 0$):
   $(1-4x^2)g''(x) - 4x g'(x) = 4a^2 g(x)$
   $\implies (1-4x^2)g''(x) - 4x g'(x) - 4a^2 g(x) = 0$ (প্রমাণিত)।