উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

করিম O বিন্দু হতে অনুভূমির সাথে 45° কোণে বন্দুকের গুলি করল। রহিম একই সময়ে স্থিরাবস্থা O হতে দৌড়ে 20 সেকেন্ডে 200 মিটার দূরে অবস্থিত একটি খাড়া দেয়ালের পাদদেশ B বিন্দুতে থামে। রহিম যাত্রা পথের OA অংশ a সমত্বরণে এবং AB অংশ b সমমন্দনে যায়। অপরদিকে গুলিটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে গেল এবং দেয়ালের অপর পার্শ্বে y দূরত্বে বিন্দুতে পড়ল । (এখানে দেয়ালের পুরুত্ব অগ্রাহ্য করা হয়েছে)

  1. ক)

    একটি নৌকা 10 কি. মি. বেগে চলে ঘণ্টায় 6 কি. মি. বেগে প্রবাহিত 500 মিটার চওড়া একটি নদী পাড়ি দিতে চায়। নৌকাটির ন্যূনতম পথে নদীটি পাড়ি দিতে কত সময় লাগবে?

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, 1a+1 b=1 \frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}=1 .

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, দেয়ালের উচ্চতা =200y200+y =\frac{200 y}{200+y}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    নৌকার বেগ, u=10 km/hu = 10 \text{ km/h}
    স্রোতের বেগ, v=6 km/hv = 6 \text{ km/h}
    নদীর প্রস্থ, d=500 m=0.5 kmd = 500 \text{ m} = 0.5 \text{ km}

    ন্যূনতম পথে (সোজাসোজি বিপরীত বিন্দুতে) নদী পার হতে হলে লব্ধি বেগ নদীর পারের সাথে লম্ব বরাবর হতে হবে।
    সুতরাং, লব্ধি বেগ w=u2−v2=102−62=100−36=64=8 km/hw = \sqrt{u^2 - v^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ km/h}

    অতএব, নদীটি পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
    t=dw=0.58 ঘণ্টা=116 ঘণ্টা=116×60 মিনিট=3.75 মিনিট=3 মিনিট 45 সেকেন্ডt = \frac{d}{w} = \frac{0.5}{8} \text{ ঘণ্টা} = \frac{1}{16} \text{ ঘণ্টা} = \frac{1}{16} \times 60 \text{ মিনিট} = 3.75 \text{ মিনিট} = 3 \text{ মিনিট } 45 \text{ সেকেন্ড} (বা 225225 সেকেন্ড)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, রহিমের সর্বোচ্চ বেগ vv।
    রহিম OO থেকে স্থিরাবস্থা (u=0u = 0) হতে aa সমত্বরণে t1t_1 সময়ে AA বিন্দুতে পৌঁছে vv বেগ লাভ করে এবং AA হতে bb সমমন্দনে t2t_2 সময়ে BB বিন্দুতে থেমে যায় (শেষ বেগ 00)।

    সুতরাং,
    v=0+at1  ⟹  t1=vav = 0 + a t_1 \implies t_1 = \frac{v}{a}
    এবং,
    0=v−bt2  ⟹  t2=vb0 = v - b t_2 \implies t_2 = \frac{v}{b}

    মোট সময়, t1+t2=20 st_1 + t_2 = 20 \text{ s}
    বা, va+vb=20\frac{v}{a} + \frac{v}{b} = 20
    বা, v(1a+1b)=20…(1)v\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 20 \quad \dots (1)

    আবার, গড় বেগের সাহায্যে মোট দূরত্ব,
    s=(0+v2)t1+(v+02)t2=v2(t1+t2)s = \left(\frac{0 + v}{2}\right) t_1 + \left(\frac{v + 0}{2}\right) t_2 = \frac{v}{2}(t_1 + t_2)
    বা, 200=v2×20200 = \frac{v}{2} \times 20
    বা, 10v=200  ⟹  v=20 m/s10v = 200 \implies v = 20 \text{ m/s}

    vv-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
    20(1a+1b)=2020\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 20
    বা, 1a+1b=1\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, দেয়ালটির উচ্চতা hh।
    উদ্দীপক অনুসারে, গুলির প্রক্ষেপণ কোণ α=45∘\alpha = 45^\circ।
    দেয়ালটি অনুভূমিকভাবে x=200 mx = 200 \text{ m} দূরত্বে অবস্থিত।
    গুলিটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে গিয়ে দেয়ালের অপর পাশে yy দূরত্বে অবস্থিত CC বিন্দুতে পড়ে।

    অতএব, গুলির অনুভূমিক পাল্লা, R=200+yR = 200 + y

    আমরা জানি, প্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ:
    y′=xtan⁡α(1−xR)y' = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)

    যেহেতু গুলিটি x=200 mx = 200 \text{ m} অবস্থানে দেয়ালের উপর দিয়ে অতিক্রম করে, সেহেতু ঐ বিন্দুতে উচ্চতা y′=hy' = h।
    অতএব,
    h=200tan⁡45∘(1−200200+y)h = 200 \tan 45^\circ \left(1 - \frac{200}{200 + y}\right)
    বা, h=200×1×(200+y−200200+y)h = 200 \times 1 \times \left(\frac{200 + y - 200}{200 + y}\right)
    বা, h=200y200+yh = \frac{200y}{200 + y}

    সুতরাং, দেয়ালের উচ্চতা =200y200+y= \frac{200y}{200 + y} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন