উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দেওয়া আছে φ(x)=cos⁡−1x \varphi(x)=\cos ^{-1} x এবং h(θ)=cos⁡θ−sin⁡θ h(\theta)=\cos \theta-\sin \theta

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)=29 \sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{9}

    (2)
  2. খ)

    φ(x)+φ(y)+φ(z)=π হলে দেখাও যে, x2+y2+z2+2xyz=1. \begin{array}{l}\varphi(x)+\varphi(y)+\varphi(z)=\pi \text { হলে দেখাও যে, } x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1 .\end{array}

    (4)
  3. গ)

    (−π,π) (-\pi, \pi) ব্যবধিতে h(θ)=12 h(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}} সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ,
    =sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)= \sin^2\left(\cos^{-1}\frac{1}{3}\right) - \cos^2\left(\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
    আমরা জানি, sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta এবং cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta।
    অতএব,
    sin⁡2(cos⁡−113)=1−cos⁡2(cos⁡−113)=1−(13)2=1−19=89\sin^2\left(\cos^{-1}\frac{1}{3}\right) = 1 - \cos^2\left(\cos^{-1}\frac{1}{3}\right) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
    cos⁡2(sin⁡−113)=1−sin⁡2(sin⁡−113)=1−(13)2=1−13=23\cos^2\left(\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \sin^2\left(\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

    সুতরাং,
    বামপক্ষ=89−23=8−69=29=ডানপক্ষ\text{বামপক্ষ} = \frac{8}{9} - \frac{2}{3} = \frac{8 - 6}{9} = \frac{2}{9} = \text{ডানপক্ষ}
    (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, φ(x)=cos⁡−1x\varphi(x) = \cos^{-1}x
    সুতরাং, φ(x)+φ(y)+φ(z)=π\varphi(x) + \varphi(y) + \varphi(z) = \pi
    ⇒cos⁡−1x+cos⁡−1y+cos⁡−1z=π\Rightarrow \cos^{-1}x + \cos^{-1}y + \cos^{-1}z = \pi
    ⇒cos⁡−1x+cos⁡−1y=π−cos⁡−1z\Rightarrow \cos^{-1}x + \cos^{-1}y = \pi - \cos^{-1}z
    ⇒cos⁡−1(xy−1−x21−y2)=π−cos⁡−1z\Rightarrow \cos^{-1}\left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) = \pi - \cos^{-1}z
    উভয়পক্ষে cos⁡\cos নিয়ে পাই,
    xy−1−x21−y2=cos⁡(π−cos⁡−1z)xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = \cos(\pi - \cos^{-1}z)
    ⇒xy−1−x21−y2=−cos⁡(cos⁡−1z)\Rightarrow xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -\cos(\cos^{-1}z)
    ⇒xy−1−x21−y2=−z\Rightarrow xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -z
    ⇒xy+z=1−x21−y2\Rightarrow xy + z = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (xy+z)2=(1−x2)(1−y2)(xy + z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)
    ⇒x2y2+2xyz+z2=1−x2−y2+x2y2\Rightarrow x^2y^2 + 2xyz + z^2 = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2
    উভয়পক্ষ থেকে x2y2x^2y^2 বাদ দিয়ে এবং পক্ষান্তর করে পাই,
    x2+y2+z2+2xyz=1x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1
    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, h(θ)=cos⁡θ−sin⁡θh(\theta) = \cos\theta - \sin\theta
    প্রদত্ত সমীকরণ,
    h(θ)=12h(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}
    ⇒cos⁡θ−sin⁡θ=12\Rightarrow \cos\theta - \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
    উভয়পক্ষকে 12\frac{1}{\sqrt{2}} দ্বারা গুণ করে পাই,
    12cos⁡θ−12sin⁡θ=12⋅12\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
    ⇒cos⁡θcos⁡π4−sin⁡θsin⁡π4=12\Rightarrow \cos\theta\cos\frac{\pi}{4} - \sin\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}
    ⇒cos⁡(θ+π4)=cos⁡π3\Rightarrow \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}
    আমরা জানি, cos⁡θ=cos⁡α\cos\theta = \cos\alpha হলে θ=2nπ±α\theta = 2n\pi \pm \alpha, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।
    ⇒θ+π4=2nπ±π3\Rightarrow \theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}
    ⇒θ=2nπ±π3−π4\Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

    প্রদত্ত ব্যবধি: (−π,π)(-\pi, \pi)

    n=0n = 0 হলে:
    θ=π3−π4=4π−3π12=π12∈(−π,π)\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \in (-\pi, \pi)
    θ=−π3−π4=−4π−3π12=−7π12∈(−π,π)\theta = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi - 3\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \in (-\pi, \pi)

    n=1n = 1 হলে:
    θ=2π±π3−π4>π\theta = 2\pi \pm \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} > \pi (যা সীমার বাইরে)

    n=−1n = -1 হলে:
    θ=−2π±π3−π4<−π\theta = -2\pi \pm \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} < -\pi (যা সীমার বাইরে)

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: θ=π12,−7π12\theta = \frac{\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন