গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, অধিবৃত্তের সমীকরণ:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অথবা $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$

এখানে উপকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{2}$
উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব $= 2ae = 16$ (যদি আর-অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর হয়)
$\Rightarrow 2a(\sqrt{2}) = 16$
$\Rightarrow a = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$
$\Rightarrow a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$

আমরা জানি, $b^2 = a^2(e^2 - 1)$
$\Rightarrow b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$

অতএব, আর-অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণ:
$\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1 \Rightarrow x^2 - y^2 = 32$

অনুরূপভাবে, আর-অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণ:
$\frac{y^2}{32} - \frac{x^2}{32} = 1 \Rightarrow y^2 - x^2 = 32$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 - y^2 = 32$ অথবা $y^2 - x^2 = 32$ (বা $x^2 - y^2 = \pm 32$)।