গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১০-২০১১

গণিত প্রশ্ন

4.

যদি cos⁡−1(yb)=ln⁡(xn)n \cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln \left(\frac{x}{n}\right)^{n} হয়, প্রমাণ কর যে, x2d2xdy2+x(dydx)+n2y=0 x^{2} \frac{d^{2} x}{d y^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)+n^{2} y=0

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নে প্রদত্ত সমীকরণের প্রথম পদটিতে মুদ্রণজনিত ত্রুটির কারণে d2xdy2\frac{d^2 x}{dy^2} লেখা হয়েছে, যা প্রকৃতপক্ষে d2ydx2\frac{d^2 y}{dx^2} হবে।

দেওয়া আছে,
cos⁡−1(yb)=ln⁡(xn)n\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = \ln \left(\frac{x}{n}\right)^{n}
⇒cos⁡−1(yb)=nln⁡(xn)\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = n \ln\left(\frac{x}{n}\right)
⇒yb=cos⁡[nln⁡(xn)]\Rightarrow \frac{y}{b} = \cos\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]
⇒y=bcos⁡[nln⁡(xn)]\Rightarrow y = b \cos\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]

xx-এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
dydx=−bsin⁡[nln⁡(xn)]⋅ddx[nln⁡(xn)]\frac{dy}{dx} = -b \sin\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right] \cdot \frac{d}{dx}\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]
⇒dydx=−bsin⁡[nln⁡(xn)]⋅(nxn⋅1n)\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -b \sin\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right] \cdot \left(\frac{n}{\frac{x}{n}} \cdot \frac{1}{n}\right)
⇒dydx=−nbxsin⁡[nln⁡(xn)]\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{n b}{x} \sin\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]
⇒xdydx=−nbsin⁡[nln⁡(xn)]\Rightarrow x \frac{dy}{dx} = -n b \sin\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]

পুনরায় xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
xd2ydx2+1⋅dydx=−nbcos⁡[nln⁡(xn)]⋅ddx[nln⁡(xn)]x \frac{d^2 y}{dx^2} + 1 \cdot \frac{dy}{dx} = -n b \cos\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right] \cdot \frac{d}{dx}\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]
xd2ydx2+dydx=−nbcos⁡[nln⁡(xn)]⋅nxx \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -n b \cos\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right] \cdot \frac{n}{x}
xd2ydx2+dydx=−n2x{bcos⁡[nln⁡(xn)]}x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -\frac{n^2}{x} \left\{b \cos\left[n \ln\left(\frac{x}{n}\right)\right]\right\}
xd2ydx2+dydx=−n2yxx \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -\frac{n^2 y}{x}

উভয় পক্ষকে xx দ্বারা গুণ করে পাই,
x2d2ydx2+xdydx=−n2yx^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -n^2 y
∴x2d2ydx2+xdydx+n2y=0[প্রমাণিত]\therefore x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + n^2 y = 0 \quad \text{[প্রমাণিত]}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন