গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

(i) cot⁡θ+cos⁡θ=M,cot⁡θ−cos⁡θ=N \cot \theta+\cos \theta=M, \cot \theta-\cos \theta=N (ii) দুটি কিলোমিটার পোস্ট P ও Q এর মধ্যবর্তী কোনো স্থানের উপর s বিন্দুতে একটি বেলুন উড়ছে । ঐ বেলুন থেকে কিলোমিটারপোস্টদ্বয়ের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 45° ।

  1. ক)

    A=60∘ A=60^{\circ} হলে, sec⁡2 A+tan⁡2 A \sec ^{2} \mathrm{~A}+\tan ^{2} \mathrm{~A} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, (M2−N2)2=16MN \left(\mathrm{M}^{2}-\mathrm{N}^{2}\right)^{2}=16 \mathrm{MN} .

    (2)
  3. গ)

    মাটি থেকে বেলুনটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    A=60°A = 60° হলে sec⁡2A+tan⁡2A=sec⁡260°+tan⁡260°=22+(3)2=4+3=\sec^2 A + \tan^2 A = \sec^2 60° + \tan^2 60° = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = ৭

  2. খ)

    দেওয়া আছে, M=cot⁡θ+cos⁡θM = \cot\theta + \cos\theta এবং N=cot⁡θ−cos⁡θN = \cot\theta - \cos\theta

    M2−N2=(M+N)(M−N)=(2cot⁡θ)(2cos⁡θ)=4cot⁡θcos⁡θM^2 - N^2 = (M+N)(M-N) = (2\cot\theta)(2\cos\theta) = 4\cot\theta\cos\theta

    তাহলে (M2−N2)2=16cot⁡2θcos⁡2θ(M^2 - N^2)^2 = 16\cot^2\theta\cos^2\theta ... (i)

    আবার MN=(cot⁡θ+cos⁡θ)(cot⁡θ−cos⁡θ)=cot⁡2θ−cos⁡2θMN = (\cot\theta + \cos\theta)(\cot\theta - \cos\theta) = \cot^2\theta - \cos^2\theta

    =cos⁡2θsin⁡2θ−cos⁡2θ=cos⁡2θ(1−sin⁡2θsin⁡2θ)=cos⁡2θ⋅cos⁡2θsin⁡2θ=cos⁡2θcot⁡2θ= \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \cos^2\theta = \cos^2\theta\left(\dfrac{1 - \sin^2\theta}{\sin^2\theta}\right) = \cos^2\theta \cdot \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cos^2\theta\cot^2\theta

    সুতরাং 16MN=16cos⁡2θcot⁡2θ16MN = 16\cos^2\theta\cot^2\theta ... (ii)

    (i) ও (ii) থেকে, (M2−N2)2=16MN(M^2 - N^2)^2 = 16MN (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    কিলোমিটার পোস্ট দুটি পরপর অবস্থিত, তাই PQ=1PQ = 1 কিমি =1000= 1000 মিটার।

    ধরি, বেলুনের অবস্থান SS, মাটি থেকে উচ্চতা SR=hSR = h মিটার, যেখানে RR হলো PQPQ এর ওপর SS এর পাদবিন্দু।

    অবনতি কোণ PP এর জন্য 60°60° হলে ∠SPR=60°\angle SPR = 60° এবং QQ এর জন্য ∠SQR=45°\angle SQR = 45°।

    △SPR\triangle SPR এ tan⁡60°=hPR\tan 60° = \dfrac{h}{PR}, তাই PR=h3PR = \dfrac{h}{\sqrt{3}}

    △SQR\triangle SQR এ tan⁡45°=hQR\tan 45° = \dfrac{h}{QR}, তাই QR=hQR = h

    PR+QR=PQPR + QR = PQ

    বা, h3+h=1000\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h = 1000

    বা, h(1+33)=1000h\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 1000

    বা, h=100033+1=10003(3−1)2=500(3−3)h = \dfrac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{1000\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} = 500(3 - \sqrt{3})

    =500×1.268=634= 500 \times 1.268 = 634 (প্রায়)

    অতএব, মাটি থেকে বেলুনটির উচ্চতা প্রায় ৬৩৪ মিটার।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন