পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, তাদের ডট গুণন:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$

   এখানে যদি ভেক্টর দুটির মান অশূন্য হয় ($A \neq 0$ এবং $B \neq 0$), কিন্তু তারা পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে (অর্থাৎ $\theta = 90^\circ$), তবে:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos(90^\circ) = AB \times 0 = 0$

   সুতরাং, দুটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও তারা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন শূন্য হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্র:
   $\vec{P} = (9xy^2 + 5z)\hat{i} + (4y^2 + 2xz)\hat{j} + (3x^3 + 2y)\hat{k}$

   ডাইভারজেন্স $\nabla \cdot \vec{P}$ হলো:
   $\nabla \cdot \vec{P} = \frac{\partial}{\partial x}(9xy^2 + 5z) + \frac{\partial}{\partial y}(4y^2 + 2xz) + \frac{\partial}{\partial z}(3x^3 + 2y)$
   $= 9y^2 + 8y + 0$
   $= 9y^2 + 8y$

   এখন, $(-1, 1, 1)$ বিন্দুতে (যেখানে $y = 1$):
   $\nabla \cdot \vec{P} = 9(1)^2 + 8(1) = 9 + 8 = 17$

   অতএব, $(-1, 1, 1)$ অবস্থানে $\vec{P}$-এর ডাইভারজেন্স ১৭।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{P}$ অঘূর্ণনশীল হবে যদি এবং কেবল যদি তার কার্ল শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{\nabla} \times \vec{P} = \vec{0}$ হয়।

   $\vec{\nabla} \times \vec{P} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 9xy^2 + 5z & 4y^2 + 2xz & 3x^3 + 2y \end{vmatrix}$

   $= \hat{i} \left[ \frac{\partial}{\partial y}(3x^3 + 2y) - \frac{\partial}{\partial z}(4y^2 + 2xz) \right]$
   $- \hat{j} \left[ \frac{\partial}{\partial x}(3x^3 + 2y) - \frac{\partial}{\partial z}(9xy^2 + 5z) \right]$
   $+ \hat{k} \left[ \frac{\partial}{\partial x}(4y^2 + 2xz) - \frac{\partial}{\partial y}(9xy^2 + 5z) \right]$

   $= \hat{i} [2 - 2x] - \hat{j} [9x^2 - 5] + \hat{k} [2z - 18xy]$
   $= 2(1 - x)\hat{i} - (9x^2 - 5)\hat{j} + 2(z - 9xy)\hat{k}$

   যেহেতু সাধারণভাবে $\vec{\nabla} \times \vec{P} \neq \vec{0}$, তাই ভেক্টর $\vec{P}$ অঘূর্ণনশীল নয় (বরং এটি ঘূর্ণনশীল)।