পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

(3)
প্রমাণ:

কোনো কণা বা ব্যবস্থার কৌণিক ভরবেগ $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$।

সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p} + \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}$

এখানে $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ এবং $\vec{p} = m\vec{v}$, তাই $\vec{v}\times m\vec{v} = 0$ (একই ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য)।

আবার নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$।

অতএব $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r}\times\vec{F} = \vec{\tau}$ (টর্ক)।

একাধিক কণার ব্যবস্থার জন্য সকল কণার যোগফল নিলে $\frac{d\vec{L}_{মোট}}{dt} = \vec{\tau}_{নিট}$ (অভ্যন্তরীণ বলের টর্ক জোড়ায় জোড়ায় পরস্পরকে বাতিল করে)।

নিট টর্ক শূন্য হলে $\vec{\tau}_{নিট} = 0$, অর্থাৎ $\frac{d\vec{L}_{মোট}}{dt} = 0$।

সুতরাং $\vec{L}_{মোট} =$ ধ্রুবক, অর্থাৎ মোট কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। (প্রমাণিত)