গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। $OM \perp PQ$, তাই $PM = \dfrac{1}{2}PQ = \dfrac{16}{2} = 8$ সে.মি.।

   সমকোণী $\triangle OPM$ এ $OP^2 = OM^2 + PM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
   সুতরাং $OP = \mathbf{10}$ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQ = RS$, $OM \perp PQ$ এবং $ON \perp RS$। প্রমাণ করতে হবে $OM = ON$।

   অঙ্কন: $O, P$ এবং $O, R$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PM = \dfrac{1}{2}PQ$ এবং $RN = \dfrac{1}{2}RS$। যেহেতু $PQ = RS$, তাই $PM = RN$।

   এখন $\triangle OPM$ ও $\triangle ORN$ এ:
   অতিভুজ $OP$ = অতিভুজ $OR$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
   $PM = RN$
   $\angle OMP = \angle ONR = 90^\circ$
   তাই $\triangle OPM \cong \triangle ORN$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   সুতরাং $OM = ON$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $PQ \parallel RS$, $\angle MPO = 30^\circ$। প্রমাণ করতে হবে $\triangle POR$ সমবাহু।

   প্রমাণ: $OM \perp PQ$ ও $ON \perp RS$ এবং $PQ \parallel RS$ বলে $M, O, N$ একই সরলরেখায় অবস্থিত।

   সমকোণী $\triangle OPM$ এ $\angle MPO = 30^\circ$, তাই $\angle POM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$।

   (খ) এর সর্বসমতা থেকে $\triangle OPM \cong \triangle ORN$, তাই $\angle ORN = \angle OPM = 30^\circ$ এবং $\angle RON = 60^\circ$।

   $P$ ও $R$ রেখা $MN$ এর একই পাশে এবং $M, O, N$ একরেখায়, তাই
   $\angle POR = 180^\circ - \angle POM - \angle RON = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$

   এখন $\triangle POR$ এ $OP = OR$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OPR = \angle ORP$। আবার $\angle POR = 60^\circ$, তাই $\angle OPR + \angle ORP = 120^\circ$, অর্থাৎ প্রত্যেকে $60^\circ$।

   তাহলে $\triangle POR$ এর তিনটি কোণই $60^\circ$। সুতরাং $\triangle POR$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)