উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)।
   প্রদত্ত, A(-2, 4) এবং B(4, -5)।
   AB রেখাংশকে C পর্যন্ত বর্ধিত করায় AB = 4BC হয়।
   সুতরাং, AC = AB + BC = 4BC + BC = 5BC, অর্থাৎ AC : BC = 5 : 1।
   অতএব, C বিন্দুটি AB রেখাংশকে 5 : 1 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে (অথবা B বিন্দুটি AC রেখাংশকে 4 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে)।
   B বিন্দুর ভুজ, 4 = (4x + 1(-2)) / (4 + 1)
   বা, 4 = (4x - 2) / 5
   বা, 4x - 2 = 20
   বা, 4x = 22
   বা, x = 11/2

   B বিন্দুর কোটি, -5 = (4y + 1(4)) / (4 + 1)
   বা, -5 = (4y + 4) / 5
   বা, 4y + 4 = -25
   বা, 4y = -29
   বা, y = -29/4

   সুতরাং, নির্ণেয় C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (11/2, -29/4)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে AB সরলরেখার সমীকরণ:
   3x + 2y + 12 = 0
   বা, 3x + 2y = -12
   বা, x / (-4) + y / (-6) = 1
   সুতরাং, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 0) এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, -6)।

   AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু, M = ((-4 + 0)/2, (0 - 6)/2) = (-2, -3)।
   AB রেখার ঢাল, m₁ = -3/2।
   AB রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল, m₂ = -1 / (-3/2) = 2/3।

   অতএব, AB রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
   y - (-3) = (2/3)(x - (-2))
   বা, 3(y + 3) = 2(x + 2)
   বা, 3y + 9 = 2x + 4
   বা, 2x - 3y = 5
   বা, x / (5/2) + y / (-5/3) = 1

   রেখাটি x-অক্ষকে (5/2, 0) এবং y-অক্ষকে (0, -5/3) বিন্দুতে ছেদ করে।
   সুতরাং, অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
   Δ = (1/2) × |5/2| × |-5/3| = (1/2) × (5/2) × (5/3) = 25/12 বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে AB রেখার সমীকরণ:
   3x + 2y + 12 = 0 ... (1)
   এবং অপর রেখার সমীকরণ:
   2x + 3y + 3 = 0 ... (2)

   উভয় সমীকরণের ধ্রুবপদ ধনাত্মক আছে।
   এখানে, a₁ = 3, b₁ = 2 এবং a₂ = 2, b₂ = 3
   a₁a₂ + b₁b₂ = (3)(2) + (2)(3) = 6 + 6 = 12 > 0
   যেহেতু a₁a₂ + b₁b₂ > 0, তাই ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক পাওয়া যাবে।

   অতএব, স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ:
   (3x + 2y + 12) / √(3² + 2²) = +(2x + 3y + 3) / √(2² + 3²)
   বা, (3x + 2y + 12) / √13 = (2x + 3y + 3) / √13
   বা, 3x + 2y + 12 = 2x + 3y + 3
   বা, x - y + 9 = 0
   বা, y = x + 9

   সমদ্বিখন্ডক রেখাটির ঢাল, m = tan θ = 1
   বা, tan θ = tan 45°
   বা, θ = 45° বা π/4

   সুতরাং, রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে।