গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $C$ যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\angle ACB = 90^\circ$।
   প্রমাণ: $OA = OB = OC$ (ব্যাসার্ধ)। $\triangle OAC$ এ $\angle OAC = \angle OCA$ এবং $\triangle OBC$ এ $\angle OBC = \angle OCB$।
   $\triangle ABC$ এর তিন কোণের সমষ্টি $2\angle OCA + 2\angle OCB = 180^\circ$
   বা $\angle OCA + \angle OCB = 90^\circ$, অর্থাৎ $\angle ACB = 90^\circ$। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $DEFG$ চতুর্ভুজে $\angle D + \angle F = 180^\circ$। প্রমাণ করতে হবে $D, E, F, G$ সমবৃত্ত।
   অঙ্কন: একই সরলরেখায় নয় এমন $D, E, G$ বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। ধরি এটি $EG$ এর যে পাশে $F$ আছে তার বিপরীত পাশে বৃত্তচাপ $EG$ এর উপর $H$ বিন্দু আছে।
   প্রমাণ: $DEHG$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle EDG + \angle EHG = 180^\circ$ ... (১)।
   [এখানে $D$ ও $H$ ভিন্ন পাশে থাকায় $D$ বিপরীত শীর্ষ।]
   আবার $\angle EDG + \angle EFG = 180^\circ$ ... (২) (শর্তমতে)।
   (১) ও (২) থেকে $\angle EHG = \angle EFG$। কিন্তু $F$ ও $H$ একই পাশে এবং $EG$ বাহুর উপর সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাই $F$ বিন্দুটি ওই বৃত্তের উপর অবস্থিত।
   অতএব, $D, E, F, G$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $DEFG$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (ক্ষ থেকে) এবং $DF$, $\angle EDG$ এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে $EF = FG$।
   প্রমাণ: $DF$ সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle EDF = \angle FDG$।
   একই বৃত্তে $\angle EDF$ জ্যা $EF$ এর উপর এবং $\angle FDG$ জ্যা $FG$ এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ। বৃত্তস্থ কোণ সমান হলে এদের উপর দণ্ডায়মান চাপ সমান, তাই জ্যাও সমান।
   অতএব, $EF = FG$। (প্রমাণিত)