গণিত • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪

গণিত প্রশ্ন

(i) 12−1+2…….. \frac{1}{\sqrt{2}}-1+\sqrt{2} \ldots \ldots . . . একটি গুণোত্তর ধারা।(ii) 3bx2−4ax+3b=0 3 b x^{2}-4 a x+3 b=0

  1. ক)

    দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3:7 3: 7 এবং ল.সা.গু. 168 হলে, সংখ্যা দুইঢি নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, x=2a+3b+2a−3b2a+3b−2a−3b x=\frac{\sqrt{2 a+3 b}+\sqrt{2 a-3 b}}{\sqrt{2 a+3 b}-\sqrt{2 a-3 b}}

    (2)
  3. গ)

    ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    ধরি, সংখ্যা দুইটি 3k3k ও 7k7k। এদের ল.সা.গু. =3×7×k=21k=3\times7\times k=21k (৩ ও ৭ সহ-মৌলিক)।

    শর্তমতে, 21k=16821k=168, তাই k=8k=8।

    সুতরাং, সংখ্যা দুইটি 3×8=243\times8=\mathbf{24} এবং 7×8=567\times8=\mathbf{56}।

  2. খ)

    দেওয়া আছে, 3bx2−4ax+3b=03bx^2-4ax+3b=0

    x≠0x\ne0 হওয়ায় xx দ্বারা ভাগ করে, 3b(x+1x)=4a3b\left(x+\dfrac1x\right)=4a

    বা, x2+12x=2a3b\dfrac{x^2+1}{2x}=\dfrac{2a}{3b}

    যোগ-বিয়োগ (componendo-dividendo) প্রয়োগ করে, x2+1+2xx2+1−2x=2a+3b2a−3b\dfrac{x^2+1+2x}{x^2+1-2x}=\dfrac{2a+3b}{2a-3b}

    বা, (x+1x−1)2=2a+3b2a−3b\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2=\dfrac{2a+3b}{2a-3b}

    বা, x+1x−1=2a+3b2a−3b\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{\sqrt{2a+3b}}{\sqrt{2a-3b}}

    আবার যোগ-বিয়োগ প্রয়োগ করে, (x+1)+(x−1)(x+1)−(x−1)=2a+3b+2a−3b2a+3b−2a−3b\dfrac{(x+1)+(x-1)}{(x+1)-(x-1)}=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}

    বা, x=2a+3b+2a−3b2a+3b−2a−3bx=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a=12a=\dfrac1{\sqrt2}, সাধারণ অনুপাত r=−11/2=−2r=\dfrac{-1}{1/\sqrt2}=-\sqrt2 (যাচাই: −1×(−2)=2-1\times(-\sqrt2)=\sqrt2 ✓)।

    r10=(−2)10=25=32r^{10}=(-\sqrt2)^{10}=2^5=32

    r<−1r<-1 হওয়ায় S10=a(r10−1)r−1=12(32−1)−2−1=−312(2+1)=−312+2S_{10}=\dfrac{a(r^{10}-1)}{r-1}=\dfrac{\frac1{\sqrt2}(32-1)}{-\sqrt2-1}=-\dfrac{31}{\sqrt2(\sqrt2+1)}=-\dfrac{31}{2+\sqrt2}

    =−31(2−2)(2+2)(2−2)=−31(2−2)2=31(2−2)2=-\dfrac{31(2-\sqrt2)}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}=-\dfrac{31(2-\sqrt2)}{2}=\dfrac{31(\sqrt2-2)}{2}

    সুতরাং, প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি 31(2−2)2≈−9.08\mathbf{\dfrac{31(\sqrt2-2)}{2}}\approx-9.08।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন