উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int e^{\ln(\ln x)} dx$
   আমরা জানি, $e^{\ln u} = u$
   অতএব, $e^{\ln(\ln x)} = \ln x$
   সুতরাং, $I = \int \ln x \, dx$
   ইউভি (integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করে:
   $I = \ln x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 \, dx \right) dx$
   $= x \ln x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) dx$
   $= x \ln x - \int 1 \, dx$
   $= x \ln x - x + c$
   নির্ণেয় মান: $x \ln x - x + c$, যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বক্ররেখার সমীকরণ: $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 1$
   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই স্পর্শকের ঢাল:
   $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 2$

   যেহেতু স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, সেহেতু স্পর্শকের ঢাল, $\frac{dy}{dx} = \pm \tan 45^\circ = \pm 1$

   কেস ১: $\frac{dy}{dx} = 1$ হলে,
   $3x^2 - 6x - 2 = 1$
   $\Rightarrow 3x^2 - 6x - 3 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0$
   $\Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

   কেস ২: $\frac{dy}{dx} = -1$ হলে,
   $3x^2 - 6x - 2 = -1$
   $\Rightarrow 3x^2 - 6x - 1 = 0$
   $\Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-1)}}{2 \times 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

   অতএব, নির্ণেয় ভুজসমূহ: $1 \pm \sqrt{2}$ এবং $1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে উল্লিখিত পরাবৃত্ত: $y = \frac{1}{8} x^2 \Rightarrow x^2 = 8y$
   এটি $x^2 = 4ay$ আকারের পরাবৃত্ত, যেখানে $4a = 8 \Rightarrow a = 2$
   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y = a = 2$
   পরাবৃত্ত এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   $y = 2$ হলে, $x^2 = 8(2) = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
   সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রের সীমা $x = -4$ থেকে $x = 4$ পর্যন্ত।

   আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{-4}^{4} (y_1 - y_2) dx = \int_{-4}^{4} \left( 2 - \frac{x^2}{8} \right) dx$
   যেহেতু ফাংশনটি যুগ্ন (even), তাই:
   $A = 2 \int_{0}^{4} \left( 2 - \frac{x^2}{8} \right) dx$
   $= 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{24} \right]_0^4$
   $= 2 \left[ 2(4) - \frac{64}{24} \right]$
   $= 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right] = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$ বর্গ একক।

   বিকল্প সূত্র ব্যবহার করে: পরাবৃত্ত $x^2 = 4ay$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল $= \frac{8}{3} a^2 = \frac{8}{3} (2)^2 = \frac{32}{3}$ বর্গ একক।

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: $\frac{32}{3}$ বর্গ একক।