পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৪
পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন
নিচের উদ্দীপকটি পড় ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:
- ক)(1)
আয়ত একক ভেক্টর কী?
- খ)(2)
একটি ভেক্টর রাশিকে কীরূপে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করবে? ব্যাখ্যা করো।
- গ)(3)
F1 এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় করো।
- ঘ)(4)
উদ্দীপকে F⃗1+F⃗2 \vec{F}{1}+\vec{F}{2} এবং F⃗1−F⃗2 \vec{F}{1}-\vec{F}{2} পরস্পর লম্ব কি-না? যাচাই করো।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ (X, Y ও Z অক্ষ) বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর (যথাক্রমে î, ĵ ও k̂) বিবেচনা করা হয়, তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
কোনো ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তরের সাধারণ উপায় হলো একই ভেক্টরের সাথে অথবা অন্য কোনো ভেক্টরের সাথে ডট গুণন (স্কেলার গুণন) সম্পন্ন করা অথবা ভেক্টরটির পরম মান (মান) গ্রহণ করা।
১. ডট গুণন দ্বারা: কোনো ভেক্টর রাশিকে অপর একটি ভেক্টর রাশি দিয়ে ডট গুণন করলে প্রাপ্ত গুণফল একটি স্কেলার রাশি হয়। উদাহরণস্বরূপ, বল (F⃗) এবং সরণ (r⃗) উভয়ই ভেক্টর রাশি হলেও এদের ডট গুণন কাজ (W = F⃗ · r⃗) একটি স্কেলার রাশি। এমনকি কোনো ভেক্টর A⃗-এর সাথে তার নিজেরই ডট গুণন করলে A⃗ · A⃗ = |A⃗|² পাওয়া যায়, যা একটি স্কেলার মান।
২. মান বা পরম মান নির্ণয়ের মাধ্যমে: একটি ভেক্টর রাশি A⃗ = A_x î + A_y ĵ + A_z k̂ হলে তার মান |A⃗| = √(A_x² + A_y² + A_z²), যা একটি স্কেলার রাশিতে পরিণত হয়।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক অনুসারে,
|F⃗₁| = 15 N
F⃗₁ ভেক্টরটি ঋণাত্মক X-অক্ষের (X') সাথে 30° কোণ তৈরি করে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে। অর্থাৎ, ধনাত্মক X-অক্ষের সাথে এর কোণ,
θ₁ = 180° - 30° = 150°অতএব, F⃗₁-এর অনুভূমিক উপাংশ (X-অক্ষ বরাবর):
F₁ₓ = |F⃗₁| cos 150° = 15 × (-cos 30°) = 15 × (-√3 / 2) = - (15√3 / 2) N ≈ -12.99 Nএবং উল্লম্ব উপাংশ (Y-অক্ষ বরাবর):
F₁ᵧ = |F⃗₁| sin 150° = 15 × sin 30° = 15 × (1 / 2) = 7.5 Nসুতরাং, F⃗₁ এর ভেক্টর রূপ:
F⃗₁ = F₁ₓ î + F₁ᵧ ĵ
= (-15√3 / 2 î + 7.5 ĵ) N
বা, F⃗₁ ≈ (-12.99 î + 7.5 ĵ) N। - ঘ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণন শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ (F⃗₁ + F⃗₂) · (F⃗₁ - F⃗₂) = 0 হতে হবে।
বীজগাণিতিকভাবে:
(F⃗₁ + F⃗₂) · (F⃗₁ - F⃗₂) = F⃗₁ · F⃗₁ - F⃗₁ · F⃗₂ + F⃗₂ · F⃗₁ - F⃗₂ · F⃗₂
যেহেতু স্কেলার গুণন বিনিময় নিয়ম মেনে চলে (F⃗₁ · F⃗₂ = F⃗₂ · F⃗₁),
সুতরাং,
(F⃗₁ + F⃗₂) · (F⃗₁ - F⃗₂) = |F⃗₁|² - |F⃗₂|²উদ্দীপক থেকে পাই:
|F⃗₁| = 15 N
|F⃗₂| = 10 Nমান বসিয়ে পাই,
|F⃗₁|² - |F⃗₂|² = (15)² - (10)² = 225 - 100 = 125 ≠ 0যেহেতু (F⃗₁ + F⃗₂) · (F⃗₁ - F⃗₂) ≠ 0,
সুতরাং উদ্দীপকের (F⃗₁ + F⃗₂) এবং (F⃗₁ - F⃗₂) পরস্পর লম্ব নয়।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও