∫0∞(1a+x−1b+x)dx \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{a+x} - \frac{1}{b+x}) dx এর মান যেখানে a,b0 a, b 0 ?

Question

∫0∞(1a+x−1b+x)dx \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{a+x} - \frac{1}{b+x}) dx এর মান যেখানে a,b>0 a, b > 0 ?

Accepted Answer

গ. lnba 	ext{ln} \frac{b}{a}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত যোগজটি হলো:
$I = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{a+x} - \frac{1}{b+x} ight) dx$

যোগজীকরণ করে পাই:
$I = \lim_{t 	o \infty} [\ln(a+x) - \ln(b+x)]_0^t = \lim_{t 	o \infty} \left[ \ln\left(\frac{a+x}{b+x}ight) ight]_0^t$

সীমা বসিয়ে পাই:
$I = \lim_{t 	o \infty} \ln\left(\frac{a+t}{b+t}ight) - \ln\left(\frac{a+0}{b+0}ight)$

যেহেতু $\lim_{t 	o \infty} \frac{a+t}{b+t} = 1$, তাই $\ln(1) = 0$।

অতএব,
$I = 0 - \ln\left(\frac{a}{b}ight) = -\ln\left(\frac{a}{b}ight) = \ln\left(\frac{b}{a}ight)$

সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 3।

গণিত প্রশ্ন