উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[2−65321501],X=[xyz],C=[15−10] A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -6 & 5 \ 3 & 2 & 1 \ 5 & 0 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \ y \ z \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{c} 15 \ -1 \ 0 \end{array}\right]

  1. ক)

    [032x+727x9+5x002x+5] \left[\begin{array}{ccc}0 & 3 & 2 x+7 \ 2 & 7 x & 9+5 x \ 0 & 0 & 2 x+5\end{array}\right] ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x x এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    AX=C A X=C হলে ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে x,y,z x, y, z নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    B B এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর। যেখানে B=AT B=A^{T} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    একটি ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হলে তার নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
    অতএব,
    ∣032x+727x9+5x002x+5∣=0\begin{vmatrix} 0 & 3 & 2x+7 \\ 2 & 7x & 9+5x \\ 0 & 0 & 2x+5 \end{vmatrix} = 0

    প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই,
    −2∣32x+702x+5∣=0-2 \begin{vmatrix} 3 & 2x+7 \\ 0 & 2x+5 \end{vmatrix} = 0
    ⇒−2[3(2x+5)−0]=0\Rightarrow -2 [3(2x+5) - 0] = 0
    ⇒−6(2x+5)=0\Rightarrow -6(2x+5) = 0
    ⇒2x+5=0\Rightarrow 2x + 5 = 0
    ⇒x=−52\Rightarrow x = -\frac{5}{2}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ জোট: AX=CAX = C
    [2−65321501][xyz]=[15−10]\begin{bmatrix} 2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}

    সহগ নির্ণায়ক,
    D=∣2−65321501∣D = \begin{vmatrix} 2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}
    =2(2−0)−(−6)(3−5)+5(0−10)=4+6(−2)−50=4−12−50=−58= 2(2 - 0) - (-6)(3 - 5) + 5(0 - 10) = 4 + 6(-2) - 50 = 4 - 12 - 50 = -58

    Dx=∣15−65−121001∣D_x = \begin{vmatrix} 15 & -6 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
    তৃতীয় সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,
    Dx=1⋅(15×2−(−6)×(−1))=30−6=24D_x = 1 \cdot (15 \times 2 - (-6) \times (-1)) = 30 - 6 = 24

    Dy=∣21553−11501∣D_y = \begin{vmatrix} 2 & 15 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}
    =2(−1−0)−15(3−5)+5(0−(−5))=−2−15(−2)+25=−2+30+25=53= 2(-1 - 0) - 15(3 - 5) + 5(0 - (-5)) = -2 - 15(-2) + 25 = -2 + 30 + 25 = 53

    Dz=∣2−61532−1500∣D_z = \begin{vmatrix} 2 & -6 & 15 \\ 3 & 2 & -1 \\ 5 & 0 & 0 \end{vmatrix}
    তৃতীয় সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,
    Dz=5(6−30)=5(−24)=−120D_z = 5(6 - 30) = 5(-24) = -120

    ক্রেমারের সূত্রানুসারে,
    x=DxD=24−58=−1229x = \frac{D_x}{D} = \frac{24}{-58} = -\frac{12}{29}
    y=DyD=53−58=−5329y = \frac{D_y}{D} = \frac{53}{-58} = -\frac{53}{29}
    z=DzD=−120−58=6029z = \frac{D_z}{D} = \frac{-120}{-58} = \frac{60}{29}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[2−65321501]A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    অতএব, B=AT=[235−620511]B = A^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -6 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \end{bmatrix}

    নির্ণায়ক, ∣B∣=∣AT∣=∣A∣=−58≠0|B| = |A^T| = |A| = -58 \neq 0, সুতরাং B−1B^{-1} বিদ্যমান।

    আমরা জানি, B−1=(AT)−1=(A−1)TB^{-1} = (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
    BB-এর সহগুণকসমূহ:
    C11=+∣2011∣=2C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2
    C12=−∣−6051∣=6C_{12} = -\begin{vmatrix} -6 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 6
    C13=+∣−6251∣=−6−10=−16C_{13} = +\begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -6 - 10 = -16

    C21=−∣3511∣=−(3−5)=2C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - 5) = 2
    C22=+∣2551∣=2−25=−23C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 25 = -23
    C23=−∣2351∣=−(2−15)=13C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 15) = 13

    C31=+∣3520∣=−10C_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -10
    C32=−∣25−60∣=−30C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = -30
    C33=+∣23−62∣=4+18=22C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 18 = 22

    অতএব, adj(B)=[C11C21C31C12C22C32C13C23C33]=[22−106−23−30−161322]\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -10 \\ 6 & -23 & -30 \\ -16 & 13 & 22 \end{bmatrix}

    ∴B−1=1∣B∣adj(B)=−158[22−106−23−30−161322]\therefore B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) = -\frac{1}{58} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -10 \\ 6 & -23 & -30 \\ -16 & 13 & 22 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন