উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৯
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
f(x)=px2+qx+r,g(x)=rx2+qx+p2 f(x)=p x^{2}+q x+r, g(x)=r x^{2}+q x+p^{2}
- ক)(2)
3x3,−2x2+1=0 3 x^{3},-2 x^{2}+1=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β \alpha, \beta এবং γ \gamma হলে, Σα2β \Sigma \alpha^{2} \beta এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(4)
f(x)=0 f(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a,b a, b হলে, rx2+4qx+16p=0 r x^{2}+4 q x+16 p=0 সমীকরণণের মূলদ্বয়কে a a a b b এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
- গ)(4)
f(x)=0 \mathrm{f}(\mathrm{x})=0 এর একটি মূল g(x)=0 \mathrm{g}(\mathrm{x})=0 সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, 2p=r 2 \mathrm{p}=\mathrm{r} অথবা 12(2p+r)2=q2 \frac{1}{2}(2 \mathrm{p}+\mathrm{r})^{2}=\mathrm{q}^{2} .
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: 3x³ - 2x² + 0·x + 1 = 0
এখানে মূলত্রয় α, β, γ হলে,
α + β + γ = -(-2)/3 = 2/3
αβ + βγ + γα = 0/3 = 0
αβγ = -1/3আমরা জানি,
(α + β + γ)(αβ + βγ + γα) = Σα²β + 3αβγ
বা, (2/3) × 0 = Σα²β + 3(-1/3)
বা, 0 = Σα²β - 1
∴ Σα²β = 1 - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, f(x) = px² + qx + r = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও b।
∴ a + b = -q/p এবং ab = r/pএখন, rx² + 4qx + 16p = 0 সমীকরণকে বিবেচনা করি।
p দ্বারা ভাগ করে পাই,
(r/p)x² + 4(q/p)x + 16 = 0
মান বসিয়ে পাই,
ab·x² - 4(a + b)x + 16 = 0
বা, ab·x² - 4ax - 4bx + 16 = 0
বা, ax(bx - 4) - 4(bx - 4) = 0
বা, (bx - 4)(ax - 4) = 0সুতরাং,
bx - 4 = 0 => x = 4/b
অথবা,
ax - 4 = 0 => x = 4/aঅতএব, নির্ণেয় মূলদ্বয় 4/a এবং 4/b।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
f(x) = px² + qx + r = 0 ... (i)
g(x) = rx² + qx + p = 0 ... (ii) [যেহেতু বোর্ড প্রশ্ন অনুসারে g(x) = rx² + qx + p]ধরি, g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল α।
তাহলে প্রশ্নমতে, f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল হবে 2α।যেহেতু α সমীকরণ (ii) এর মূল:
rα² + qα + p = 0 ... (iii)
এবং 2α সমীকরণ (i) এর মূল:
p(2α)² + q(2α) + r = 0
বা, 4pα² + 2qα + r = 0 ... (iv)(iii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (iv) থেকে বিয়োগ করে পাই:
(4p - 2r)α² + (r - 2p) = 0
বা, 2(2p - r)α² - (2p - r) = 0
বা, (2p - r)(2α² - 1) = 0সুতরাং, হয় 2p - r = 0 => 2p = r
অথবা, 2α² - 1 = 0 => α² = 1/2α² = 1/2 হলে, α = ±1/√2
(iii) নং সমীকরণে α² = 1/2 বসিয়ে পাই:
r(1/2) + p = -qα
বা, (2p + r)/2 = -qα
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
(2p + r)² / 4 = q² α²
বা, (2p + r)² / 4 = q² × (1/2)
বা, (1/2)(2p + r)² = q²অতএব, 2p = r অথবা (1/2)(2p + r)² = q²। (দেখানো হলো)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও