উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{2 x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin(x/2)}{x}\right)^2 = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \left(1 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = 3x^3 - 6x^2 - 5x + 2$
   অতএব, $f'(x) = 9x^2 - 12x - 5$
   এবং $f''(x) = 18x - 12$

   সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য, $f'(x) = 0$
   $\Rightarrow 9x^2 - 12x - 5 = 0$
   $\Rightarrow 9x^2 - 15x + 3x - 5 = 0$
   $\Rightarrow 3x(3x - 5) + 1(3x - 5) = 0$
   $\Rightarrow (3x - 5)(3x + 1) = 0$
   $\therefore x = \frac{5}{3}$ অথবা $x = -\frac{1}{3}$

   এখন, $x = -\frac{1}{3}$ হলে, $f''\left(-\frac{1}{3}\right) = 18\left(-\frac{1}{3}\right) - 12 = -6 - 12 = -18 < 0$
   যেহেতু $f''\left(-\frac{1}{3}\right) < 0$, সুতরাং $x = -\frac{1}{3}$ এর জন্য $f(x)$ এর মান সর্বোচ্চ হবে।

   উত্তর: $x = -\frac{1}{3}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তের সমীকরণ: $g(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 7 = 0$
   বিন্দুটি হলো $(-2, 5)$
   বিন্দুটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত কি না যাচাই করি:
   $(-2)^2 + (5)^2 - 4(-2) - 6(5) - 7 = 4 + 25 + 8 - 30 - 7 = 0$
   অতএব, বিন্দুটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

   $(x_1, y_1) = (-2, 5)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $x x_1 + y y_1 - 2(x + x_1) - 3(y + y_1) - 7 = 0$
   $\Rightarrow x(-2) + y(5) - 2(x - 2) - 3(y + 5) - 7 = 0$
   $\Rightarrow -2x + 5y - 2x + 4 - 3y - 15 - 7 = 0$
   $\Rightarrow -4x + 2y - 18 = 0$
   $-2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $2x - y + 9 = 0$

   নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ: $2x - y + 9 = 0$