গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস নয় এমন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে, $AB>CD$।

   অঙ্কন: $O,C$ এবং $O,D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle OCD$-এ $OC+OD>CD$ (ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

   কিন্তু $OC=OD=OA=OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $OC+OD=OA+OB=AB$।

   $\therefore AB>CD$। যদি জ্যাটি ব্যাস হয়, তাহলে $CD=AB$। সুতরাং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $NT$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ $\angle NMT$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle NOT$। প্রমাণ করতে হবে, $\angle NMT=\dfrac12\angle NOT$।

   অঙ্কন: $M,O$ যোগ করে $P$ পর্যন্ত বাড়াই, যেখানে $P$ বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

   প্রমাণ:
   $\triangle MON$-এ $OM=ON$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OMN=\angle ONM$।

   বহিঃস্থ $\angle NOP=\angle OMN+\angle ONM=2\angle OMN$ ......(১)

   একইভাবে $\triangle MOT$-এ $\angle TOP=2\angle OMT$ ......(২)

   (১) ও (২) যোগ করে, $\angle NOP+\angle TOP=2(\angle OMN+\angle OMT)$

   $\therefore\angle NOT=2\angle NMT$, অর্থাৎ $\angle NMT=\dfrac12\angle NOT$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $M,N,S,T$ বিন্দু চারটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত, অর্থাৎ $MNST$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে, $\angle MNS+\angle MTS=180^\circ$।

   প্রমাণ:
   $\angle MNS$ হলো $MTS$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ, তাই উক্ত চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $=2\angle MNS$ ......(১)

   $\angle MTS$ হলো $MNS$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ, তাই উক্ত চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $=2\angle MTS$ ......(২)

   $MTS$ ও $MNS$ চাপ দুটি মিলে সম্পূর্ণ বৃত্ত গঠন করে, তাই এদের কেন্দ্রস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $=360^\circ$।

   $\therefore 2\angle MNS+2\angle MTS=360^\circ$

   বা, $\angle MNS+\angle MTS=180^\circ$ (প্রমাণিত)