উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: দুই প্রকার খাদ্য F1 F_{1} এবং F2 F_{2} তে ভিটামিন A ও C পাওয়া যায়। এক একক F1 F_{1} খাদ্যে 7- একক ভিটামিন A ও 3-একক ভিটামিন C \mathrm{C} পাওয়া যায়। আবার প্রতি একক F2 \mathrm{F}{2} খাদ্যে 2-একক ভিটামিন A ও 5-একক ভিটামিন C পাওয়া যায়। F1 F{1} ও F2 F_{2} খাদ্যের প্রতি এককের দাম যথাক্রমে 25 টাকা ও 18 টাকা। একজন লোকের দৈনিক ন্যূনতম 45 একক ভিটামিন A এবং 60-একক ভিটামিন C প্রয়োজন।দৃশ্যকল্প-২: দুই চলকের যোগাশ্রয়ী অসমতা: x+y−7≤0x−2y−4≥0 \begin{aligned} \text { অসমতা: } x+y-7 \leq 0 \ x-2 y-4 \geq 0\end{aligned}
- ক)(2)
1 এর ঘনমূল নির্ণয় কর।
- খ)(4)
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে x,y≥0 x, y \geq 0 শর্তে z=3x+4y z=3 x+4 y এর সর্বনিম্ন মান লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
- গ)(4)
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে সবচেয়ে কম খরচে দৈনিক ভিটামিন-এর চাহিদা মেটানোর জন্য একটি যোগাশ্রয়ী সমস্যা গঠন কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: ঘ অংশের প্রশ্নটি অনুপস্থিত (null) থাকায় দৃশ্যকল্প-১ এবং গ অংশের ধারাবাহিকতায় স্ট্যান্ডার্ড বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী 'দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রাপ্ত যোগাশ্রয়ী সমস্যাটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ নির্ণয় কর' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।
ধরি, x = ∛1
বা, x³ = 1
বা, x³ - 1 = 0
বা, (x - 1)(x² + x + 1) = 0হয়, x - 1 = 0 ⟹ x = 1
নতুবা, x² + x + 1 = 0
⟹ x = [-1 ± √(1² - 4·1·1)] / (2·1) = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2অতএব, 1-এর ঘনমূল তিনটি হলো: 1, (-1 + i√3)/2 এবং (-1 - i√3)/2 (বা 1, ω, ω²)।
- খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: ঘ অংশের প্রশ্নটি অনুপস্থিত (null) থাকায় দৃশ্যকল্প-১ এবং গ অংশের ধারাবাহিকতায় স্ট্যান্ডার্ড বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী 'দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রাপ্ত যোগাশ্রয়ী সমস্যাটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ নির্ণয় কর' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।
প্রদত্ত অসমতাগুলো:
x + y - 7 ≤ 0 ⟹ x + y ≤ 7 ... (i)
x - 2y - 4 ≥ 0 ⟹ x - 2y ≥ 4 ... (ii)
এবং x ≥ 0, y ≥ 0অনুরূপ সমীকরণসমূহ:
x + y = 7 ⟹ x/7 + y/7 = 1
যা অক্ষদ্বয়কে (7, 0) ও (0, 7) বিন্দুতে ছেদ করে। (0, 0) বিন্দুটি অসমতা (i) কে সিদ্ধ করে।x - 2y = 4 ⟹ x/4 + y/(-2) = 1
যা অক্ষদ্বয়কে (4, 0) ও (0, -2) বিন্দুতে ছেদ করে। (0, 0) বিন্দুটি অসমতা (ii) কে সিদ্ধ করে না।(i) ও (ii) সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই, 3y = 3 ⟹ y = 1।
সুতরাং, x = 7 - 1 = 6। ছেদবিন্দু C(6, 1)।x ≥ 0, y ≥ 0 শর্ত বিবেচনায় ১ম চতুর্ভাগে সমাধানযোগ্য অনুকূল অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলো হলো:
A(4, 0), B(7, 0) এবং C(6, 1)।কৌণিক বিন্দুগুলোতে z = 3x + 4y এর মান নির্ণয়:
A(4, 0) বিন্দুতে: z = 3(4) + 4(0) = 12
B(7, 0) বিন্দুতে: z = 3(7) + 4(0) = 21
C(6, 1) বিন্দুতে: z = 3(6) + 4(1) = 18 + 4 = 22অতএব, নির্ণেয় সর্বনিম্ন মান 12, যা (4, 0) বিন্দুতে বিদ্যমান।
- গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: ঘ অংশের প্রশ্নটি অনুপস্থিত (null) থাকায় দৃশ্যকল্প-১ এবং গ অংশের ধারাবাহিকতায় স্ট্যান্ডার্ড বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী 'দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রাপ্ত যোগাশ্রয়ী সমস্যাটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ নির্ণয় কর' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।
ধরি, লোকটিকে দৈনিক F₁ খাদ্য গ্রহণ করতে হবে x একক এবং F₂ খাদ্য গ্রহণ করতে হবে y একক।
যেহেতু খাদ্যের পরিমাণ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x ≥ 0, y ≥ 0।প্রতি একক F₁ ও F₂ খাদ্যের মূল্য যথাক্রমে 25 টাকা ও 18 টাকা।
সুতরাং মোট খরচের অভীষ্ট ফাংশন, z = 25x + 18y, যাকে সর্বনিম্ন করতে হবে।ভিটামিন A-এর শর্ত:
7x + 2y ≥ 45ভিটামিন C-এর শর্ত:
3x + 5y ≥ 60অতএব, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হলো:
সর্বনিম্নকরণ: z = 25x + 18y
শর্তসমূহ:
7x + 2y ≥ 45
3x + 5y ≥ 60
এবং x ≥ 0, y ≥ 0।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও