উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\overline{\mathrm{P}} = \hat{\mathrm{i}} - 2\hat{\mathrm{j}} - 3\hat{\mathrm{k}}$
   $\overline{\mathrm{Q}} = 3\hat{\mathrm{i}} - \hat{\mathrm{j}} + 2\hat{\mathrm{k}}$

   এখন,
   $\overline{\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{Q}} = (1+3)\hat{\mathrm{i}} + (-2-1)\hat{\mathrm{j}} + (-3+2)\hat{\mathrm{k}} = 4\hat{\mathrm{i}} - 3\hat{\mathrm{j}} - \hat{\mathrm{k}}$
   $\overline{\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{Q}} = (1-3)\hat{\mathrm{i}} + (-2+1)\hat{\mathrm{j}} + (-3-2)\hat{\mathrm{k}} = -2\hat{\mathrm{i}} - \hat{\mathrm{j}} - 5\hat{\mathrm{k}}$

   উভয়ের স্কেলার (ডট) গুণন নির্ণয় করি:
   $(\overline{\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{Q}}) \cdot (\overline{\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{Q}}) = (4)(-2) + (-3)(-1) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0$

   যেহেতু ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন শূন্য, অতএব $\overline{\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{Q}}$ এবং $\overline{\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{Q}}$ পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তটি অক্ষদ্বয়কে $E$ ও $F$ বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের কেন্দ্র $C(4, k)$।
   যেহেতু বৃত্তটি প্রথম চতুর্ভাগে উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 4$ এবং কেন্দ্রের কোটি $k = 4$।
   অতএব কেন্দ্র $C(4, 4)$।
   $X$-অক্ষকে স্পর্শ করায় স্পর্শবিন্দু $E(4, 0)$ এবং $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করায় স্পর্শবিন্দু $F(0, 4)$।

   ধরি, $C, E$ ও $F$ বিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (i)

   বৃত্তটি $E(4, 0)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $4^2 + 0^2 + 2g(4) + 2f(0) + c = 0$
   $\Rightarrow 8g + c = -16$ ... (ii)

   বৃত্তটি $F(0, 4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $0^2 + 4^2 + 2g(0) + 2f(4) + c = 0$
   $\Rightarrow 8f + c = -16$ ... (iii)

   বৃত্তটি $C(4, 4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $4^2 + 4^2 + 2g(4) + 2f(4) + c = 0$
   $\Rightarrow 32 + 8g + 8f + c = 0$
   $\Rightarrow (8g + c) + 8f = -32$
   $\Rightarrow -16 + 8f = -32$ [(ii) নং ব্যবহার করে]
   $\Rightarrow 8f = -16 \Rightarrow f = -2$

   (iii) নং থেকে পাই:
   $8(-2) + c = -16 \Rightarrow -16 + c = -16 \Rightarrow c = 0$

   (ii) নং থেকে পাই:
   $8g + 0 = -16 \Rightarrow g = -2$

   $g, f, c$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 + 2(-2)x + 2(-2)y + 0 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের বৃত্তটির কেন্দ্র $C(4, 4)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 4$।
   বৃত্তটির সমীকরণ:
   $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16 = 0$

   বৃত্তের উপরস্থ $D\left(\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ($AB$ এর) সমীকরণ:
   $x\left(\frac{8}{5}\right) + y\left(\frac{4}{5}\right) - 4\left(x + \frac{8}{5}\right) - 4\left(y + \frac{4}{5}\right) + 16 = 0$
   $\Rightarrow \frac{8}{5}x + \frac{4}{5}y - 4x - \frac{32}{5} - 4y - \frac{16}{5} + 16 = 0$
   $\Rightarrow 8x + 4y - 20x - 32 - 20y - 16 + 80 = 0$
   $\Rightarrow -12x - 16y + 32 = 0$
   $-4$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $3x + 4y - 8 = 0$ ... (i)
   এটি $AB$ স্পর্শকের সমীকরণ।

   $AB$ স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ:
   $3x + 4y + k_1 = 0$ ... (ii)

   যেহেতু (ii) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক, তাই কেন্দ্র $(4, 4)$ থেকে এর লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $4$ এর সমান হবে।
   $\therefore \frac{|3(4) + 4(4) + k_1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 4$
   $\Rightarrow \frac{|12 + 16 + k_1|}{\sqrt{25}} = 4$
   $\Rightarrow \frac{|28 + k_1|}{5} = 4$
   $\Rightarrow |28 + k_1| = 20$
   $\Rightarrow 28 + k_1 = \pm 20$

   '+' চিহ্ন নিয়ে: $28 + k_1 = 20 \Rightarrow k_1 = -8$ [যা প্রদত্ত $AB$ স্পর্শক]
   '-' চিহ্ন নিয়ে: $28 + k_1 = -20 \Rightarrow k_1 = -48$

   অতএব, $AB$ স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ:
   $3x + 4y - 48 = 0$।