গণিত • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

P=9+45 \mathrm{P}=9+4 \sqrt{5} এবং Q=m2−5 m+1;m>0 \mathrm{Q}=\mathrm{m}^{2}-\sqrt{5} \mathrm{~m}+1 ; \mathrm{m}>0 .

  1. ক)

    উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : y2−2yz−4z−4 y^{2}-2 y z-4 z-4 .

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, PP+1PP=3A5 \mathrm{P} \sqrt{\mathrm{P}}+\frac{1}{\mathrm{P} \sqrt{\mathrm{P}}}=3 A \sqrt{5} .

    (2)
  3. গ)

    Q=0 \mathrm{Q}=0 হলে, প্রমাণ কর যে, m5−1 m5=11 \mathrm{m}^{\mathrm{5}}-\frac{1}{\mathrm{~m}^{5}}=11 .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    y2−2yz−4z−4=(y2−4)−2z(y+2)=(y+2)(y−2)−2z(y+2)=(y+2)(y−2−2z)y^2-2yz-4z-4=(y^2-4)-2z(y+2)=(y+2)(y-2)-2z(y+2)=\mathbf{(y+2)(y-2-2z)}

  2. খ)

    প্রশ্নের সংখ্যাটি ছাপার ভুলে বিকৃত; এটি 34534\sqrt{5} ধরে প্রমাণ করা হলো।

    এখানে P=9+45=4+2⋅2⋅5+5=(2+5)2P=9+4\sqrt{5}=4+2\cdot 2\cdot\sqrt{5}+5=(2+\sqrt{5})^2

    অতএব P=2+5\sqrt{P}=2+\sqrt{5}

    PP=(2+5)3=8+3⋅4⋅5+3⋅2⋅5+55=38+175P\sqrt{P}=(2+\sqrt{5})^3=8+3\cdot4\cdot\sqrt{5}+3\cdot2\cdot5+5\sqrt{5}=38+17\sqrt{5}

    1PP=1(2+5)3=(5−2)3=55−30+125−8=175−38\frac{1}{P\sqrt{P}}=\frac{1}{(2+\sqrt{5})^3}=(\sqrt{5}-2)^3=5\sqrt{5}-30+12\sqrt{5}-8=17\sqrt{5}-38 [কারণ (5+2)(5−2)=1(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=1]

    ∴PP+1PP=38+175+175−38=345\therefore P\sqrt{P}+\frac{1}{P\sqrt{P}}=38+17\sqrt{5}+17\sqrt{5}-38=\mathbf{34\sqrt{5}} (প্রমাণিত)

  3. গ)

    Q=0Q=0 হলে m2−5m+1=0m^2-\sqrt{5}m+1=0

    উভয় পক্ষকে mm দ্বারা ভাগ করে, m+1m=5m+\frac{1}{m}=\sqrt{5}

    (m−1m)2=(m+1m)2−4=5−4=1\left(m-\frac{1}{m}\right)^2=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-4=5-4=1, অতএব m−1m=1m-\frac{1}{m}=1 (বড় মূল m=5+12m=\frac{\sqrt{5}+1}{2} এর জন্য)

    m2+1m2=(m+1m)2−2=5−2=3m^2+\frac{1}{m^2}=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2=5-2=3

    m4+1m4=32−2=7m^4+\frac{1}{m^4}=3^2-2=7

    এখন m5−1m5=(m−1m)(m4+m2+1+1m2+1m4)m^5-\frac{1}{m^5}=\left(m-\frac{1}{m}\right)\left(m^4+m^2+1+\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m^4}\right)

    =1×(7+3+1)=11=1\times(7+3+1)=\mathbf{11} (প্রমাণিত)

    মন্তব্য: ছোট মূল m=5−12m=\frac{\sqrt{5}-1}{2} হলে m−1m=−1m-\frac{1}{m}=-1 হয় এবং মান −11-11 হয়; প্রশ্নের ফল 1111 বড় মূলের জন্য প্রযোজ্য।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন