পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রে দুবার ব্যবকলন করার জন্য ব্যবহৃত ব্যবকলনীয় অপারেটর $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$-কে ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, দুইয়ের অধিক ভেক্টরের লব্ধিও সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে ধাপে ধাপে নির্ণয় করা যায়।

   সামান্তরিক সূত্র মূলত যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধি নির্ণয়ে সরাসরি ব্যবহৃত হয়। তবে দুইয়ের অধিক ভেক্টর থাকলে প্রথমে যেকোনো দুটি ভেক্টরের উপর সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করে তাদের একটি লব্ধি ভেক্টর বের করা হয়। এরপর প্রাপ্ত সেই লব্ধি ভেক্টরের সাথে তৃতীয় ভেক্টরটির উপর পুনরায় সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করে পরবর্তী লব্ধি পাওয়া যায়। এভাবে ক্রমান্বয়ে যতগুলো ভেক্টরই থাকুক না কেন, জোড়ায় জোড়ায় সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করে সবশেষে মোট লব্ধি নির্ণয় করা সম্ভব।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   গাড়ির বেগ, $v = 50.4\text{ kmh}^{-1} = \frac{50.4 \times 1000}{3600}\text{ ms}^{-1} = 14\text{ ms}^{-1}$
   বাঁকের ব্যাসার্ধ, $r = 200\text{ m}$
   রাস্তার প্রস্থ, $d = 2\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$

   ধরি, ব্যাংকিং কোণ $\theta$ এবং রাস্তার উচ্চতা $h$।
   আমরা জানি,
   $\tan\theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{(14)^2}{200 \times 9.8} = \frac{196}{1960} = 0.1$
   $\therefore \theta = \tan^{-1}(0.1) \approx 5.71^ circ$

   আবার, ব্যাংকিং উচ্চতার ক্ষেত্রে,
   $\sin\theta = \frac{h}{d}$
   বা, $h = d \sin\theta = 2 \times \sin(5.71^\circ) = 2 \times 0.0995 \approx 0.199\text{ m}$

   [বিকল্পভাবে, যেহেতু কোণ ছোট, $\tan\theta \approx \sin\theta = \frac{h}{d}$ ধরে $h = 2 \times 0.1 = 0.2\text{ m}$ ও গ্রহণযোগ্য]

   অতএব, রাস্তার ব্যাংকিং উচ্চতা প্রায় $0.199\text{ m}$ (বা $0.2\text{ m}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রাস্তাটি ব্যাংকিংহীন (অনুভূমিক) হলে গাড়িটিকে নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের যোগান শুধুমাত্র রাস্তা ও চাকার মধ্যবর্তী ঘর্ষণ বল হতে আসতে হবে।

   অনুভূমিক রাস্তায় নিরাপদে সর্বোচ্চ যে বেগে বাঁক নেওয়া যায়, তা হলো:
   $v_{\max} = \sqrt{\mu r g}$

   এখানে,
   ঘর্ষণ গুণাঙ্ক, $\mu = 0.5$
   বাঁকের ব্যাসার্ধ, $r = 200\text{ m}$
   $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$

   মান বসিয়ে পাই,
   $v_{\max} = \sqrt{0.5 \times 200 \times 9.8} = \sqrt{980} \approx 31.305\text{ ms}^{-1}$

   উদ্দীপকে উল্লিখিত গাড়ির প্রকৃত গতিবেগ,
   $v = 50.4\text{ kmh}^{-1} = 14\text{ ms}^{-1}$

   দেখা যাচ্ছে যে, $v < v_{\max}$ (যেহেতু $14\text{ ms}^{-1} < 31.305\text{ ms}^{-1}$)।

   যেহেতু গাড়ির বেগ ব্যাংকিংহীন রাস্তায় নিরাপদে বাঁক নেওয়ার সর্বোচ্চ অনুমোদিত বেগের চেয়ে কম, তাই প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল রাস্তা ও টায়ারের ঘর্ষণ বলের চেয়ে কম হবে এবং গাড়িটি পিছলে না গিয়ে নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে।

   অতএব, রাস্তাটি ব্যাংকিংহীন হলেও গাড়িটি নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে।