গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $(1 - \tan^2 60°) \div (1 + \cot^2 30°) + \cos^2 30°$

   $= (1 - 3) \div (1 + 3) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

   $= \dfrac{-2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$

   অতএব, মান $\dfrac{1}{4}$।

2. খ)

   ধরি, গাছের গোড়া থেকে $h$ মিটার উচ্চতায় গাছটি ভেঙেছে। ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $(60 - h)$ মিটার, যা ভূমির সাথে $30°$ কোণ উৎপন্ন করেছে।

   সমকোণী ত্রিভুজে $\sin 30° = \dfrac{h}{60 - h}$

   বা, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{60 - h}$

   বা, $60 - h = 2h$ বা, $h = 20$ মিটার

   ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $= 60 - 20 = 40$ মিটার।

   গাছের গোড়া থেকে দূরত্ব $= 40 \cos 30° = 40 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34.64$ মিটার।

   অতএব, ভাঙা অংশ গাছের গোড়া থেকে $20\sqrt{3}$ মিটার (প্রায় ৩৪.৬৪ মিটার) দূরে ভূমি স্পর্শ করে।

3. গ)

   ধরি, মিনারের উচ্চতা $h$ মিটার। মিনারের পাদবিন্দু থেকে $30°$ উন্নতি কোণের স্থানের দূরত্ব $x$ মিটার, তাই $\tan 30° = \dfrac{h}{x}$, অর্থাৎ $x = h\sqrt{3}$ ... (i)

   $40$ মিটার এগিয়ে আসার পর দূরত্ব $(x - 40)$ মিটার এবং উন্নতি কোণ $45°$, তাই $\tan 45° = \dfrac{h}{x - 40}$, অর্থাৎ $x - 40 = h$ ... (ii)

   (i) থেকে মান বসিয়ে, $h\sqrt{3} - 40 = h$

   বা, $h(\sqrt{3} - 1) = 40$

   বা, $h = \dfrac{40}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{40(\sqrt{3} + 1)}{2} = 20(\sqrt{3} + 1)$

   $= 20 \times 2.732 = 54.64$

   অতএব, মিনারটির উচ্চতা $20(\sqrt{3} + 1)$ মিটার, প্রায় ৫৪.৬৪ মিটার।