গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = OA = 5$ সে.মি.।
   ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi = 25 \times 3.1416 = \mathbf{78.54}$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB = CD$; কেন্দ্র থেকে $AB$ ও $CD$ এর উপর লম্ব যথাক্রমে $OE$ ও $OF$। প্রমাণ করতে হবে $OE = OF$।

   অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, C$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AE = \dfrac{1}{2}AB$ ও $CF = \dfrac{1}{2}CD$। $AB = CD$ বলে $AE = CF$।

   সমকোণী $\triangle OAE$ ও $\triangle OCF$ এ অতিভুজ $OA$ = অতিভুজ $OC$ (ব্যাসার্ধ) এবং $AE = CF$।
   তাই $\triangle OAE \cong \triangle OCF$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)।

   সুতরাং $OE = OF$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে $PM$ ও $PN$ দুটি স্পর্শক, যারা বৃত্তকে যথাক্রমে $M$ ও $N$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে $PM = PN$।

   অঙ্কন: $O, M$; $O, N$ এবং $O, P$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ$।

   সমকোণী $\triangle OMP$ ও $\triangle ONP$ এ অতিভুজ $OP$ সাধারণ এবং $OM = ON$ (ব্যাসার্ধ)।
   তাই $\triangle OMP \cong \triangle ONP$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)।

   সুতরাং $PM = PN$। (প্রমাণিত)