গণিত • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

সার্বিক সেট U={x:x∈N U={x: x \in \mathbb{N} এবং x x বিজোড় সংখ্যা } } A={x:x∈N A={x: x \in \mathbb{N} এবং 2≤x≤7} 2 \leq x \leq 7} B={x:x∈N \mathrm{B}={\mathrm{x}: \mathrm{x} \in \mathbb{N} এবং 3<x<8} 3<\mathrm{x}<8} C={x:x∈N এবং x2>5 এবং x3<130} এবং f(a)=a3−3a2+1a(1−a) \begin{array}{l}C=\left{x: x \in \mathbb{N} \text { এবং } x^{2}>5 \text { এবং } x^{3}<130\right} \ \text { এবং } f(a)=\frac{a^{3}-3 a^{2}+1}{a(1-a)}\end{array}

  1. ক)

    f(x)=x4+5x−3 f(x)=x^{4}+5 x-3 হলে, f(13) f\left(\frac{1}{3}\right) এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    A′ A^{\prime} এবং P(B∪C) P(B \cup C) নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, f(1a)=f(1−a) \mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{f}(1-\mathrm{a})

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    দেওয়া আছে, f(x)=x4+5x−3f(x) = x^4 + 5x - 3

    f(13)=(13)4+5⋅13−3=181+53−3=1+135−24381=−10781f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 + 5 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{81} + \frac{5}{3} - 3 = \frac{1 + 135 - 243}{81} = -\frac{107}{81}

    সুতরাং, f(13)=f\left(\frac{1}{3}\right) = −10781-\dfrac{107}{81}।

  2. খ)

    সার্বিক সেট U={1,3,5,7,9,11,…}U = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots\} (বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা)। সেটগুলো UU-এর মধ্যে ধরা হলো।

    A={x:x∈NA = \{x : x \in N এবং 2≤x≤7}2 \leq x \leq 7\} এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যা: A={3,5,7}A = \{3, 5, 7\}

    BB (3<x<83 < x < 8): বিজোড় সংখ্যা B={5,7}B = \{5, 7\}

    CC: x2>5x^2 > 5 ও x3<130x^3 < 130। x=3x = 3 হলে 9>59 > 5 ও 27<13027 < 130 সত্য; x=5x = 5 হলে 25>525 > 5 ও 125<130125 < 130 সত্য; x=7x = 7 হলে 343>130343 > 130 মিথ্যা; x=1x = 1 হলে 1>51 > 5 মিথ্যা। তাই C={3,5}C = \{3, 5\}

    A′A' নির্ণয়: A′=U∖A={1,9,11,13,…}A' = U \setminus A = \{1, 9, 11, 13, \ldots\}

    P(B∪C)P(B \cup C) নির্ণয়: B∪C={5,7}∪{3,5}={3,5,7}B \cup C = \{5, 7\} \cup \{3, 5\} = \{3, 5, 7\}

    সুতরাং, P(B∪C)={∅,{3},{5},{7},{3,5},{3,7},{5,7},{3,5,7}}P(B \cup C) = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{3, 5\}, \{3, 7\}, \{5, 7\}, \{3, 5, 7\}\} (মোট 23=82^3 = 8টি উপাদান)।

  3. গ)

    দেওয়া আছে, f(a)=a3−3a2+1a(1−a)f(a) = \dfrac{a^3 - 3a^2 + 1}{a(1-a)}

    বামপক্ষ:
    f(1a)=1a3−3a2+11a(1−1a)=1−3a+a3a3a−1a2=a3−3a+1a(a−1)f\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2} + 1}{\frac{1}{a}\left(1 - \frac{1}{a}\right)} = \frac{\frac{1 - 3a + a^3}{a^3}}{\frac{a-1}{a^2}} = \frac{a^3 - 3a + 1}{a(a-1)}

    ডানপক্ষ:
    সংখ্যক =(1−a)3−3(1−a)2+1=(1−3a+3a2−a3)−3(1−2a+a2)+1=−a3+3a−1=−(a3−3a+1)= (1-a)^3 - 3(1-a)^2 + 1 = (1 - 3a + 3a^2 - a^3) - 3(1 - 2a + a^2) + 1 = -a^3 + 3a - 1 = -(a^3 - 3a + 1)

    হর =(1−a){1−(1−a)}=(1−a)⋅a= (1-a)\{1 - (1-a)\} = (1-a)\cdot a

    f(1−a)=−(a3−3a+1)a(1−a)=a3−3a+1a(a−1)f(1-a) = \frac{-(a^3 - 3a + 1)}{a(1-a)} = \frac{a^3 - 3a + 1}{a(a-1)}

    সুতরাং, f(1a)=f(1−a)f\left(\dfrac{1}{a}\right) = f(1-a) (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন