গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

cot⁡θ+cos⁡θ=p \cot \theta+\cos \theta=p এবং cot⁡θ−cos⁡θ=q \cot \theta-\cos \theta=q

  1. ক)

    দেখাও যে, pq =cot⁡2θ⋅cos⁡2θ =\cot ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, p2−q2=4pq \stackrel{}{p}^{2}-q^{2}=4 \sqrt{p q}

    (2)
  3. গ)

    pq=2+32−3 \frac{p}{q}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} হলে, θ \theta এর মান নির্ণয় কর যেখানে θ<90∘ \theta<90^{\circ} ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    pq=(cot⁡θ+cos⁡θ)(cot⁡θ−cos⁡θ)=cot⁡2θ−cos⁡2θ=cos⁡2θsin⁡2θ−cos⁡2θ=cos⁡2θ(1−sin⁡2θsin⁡2θ)=cos⁡2θ⋅cos⁡2θsin⁡2θ=cos⁡2θcot⁡2θpq = (\cot\theta + \cos\theta)(\cot\theta - \cos\theta) = \cot^2\theta - \cos^2\theta = \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \cos^2\theta = \cos^2\theta\left(\dfrac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta}\right) = \cos^2\theta\cdot\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cos^2\theta\cot^2\theta।
    অতএব, pq=cot⁡2θ⋅cos⁡2θpq = \cot^2\theta\cdot\cos^2\theta। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    p2−q2=(p+q)(p−q)=(2cot⁡θ)(2cos⁡θ)=4cot⁡θcos⁡θp^2 - q^2 = (p+q)(p-q) = (2\cot\theta)(2\cos\theta) = 4\cot\theta\cos\theta।
    আবার (ক) থেকে pq=cot⁡2θcos⁡2θpq = \cot^2\theta\cos^2\theta, তাই 4pq=4cot⁡2θcos⁡2θ=4cot⁡θcos⁡θ4\sqrt{pq} = 4\sqrt{\cot^2\theta\cos^2\theta} = 4\cot\theta\cos\theta।
    সুতরাং, p2−q2=4pqp^2 - q^2 = 4\sqrt{pq}। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    pq=cot⁡θ+cos⁡θcot⁡θ−cos⁡θ=cos⁡θsin⁡θ+cos⁡θcos⁡θsin⁡θ−cos⁡θ=1+sin⁡θ1−sin⁡θ\dfrac{p}{q} = \dfrac{\cot\theta+\cos\theta}{\cot\theta-\cos\theta} = \dfrac{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}+\cos\theta}{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-\cos\theta} = \dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}
    শর্তমতে 1+sin⁡θ1−sin⁡θ=2+32−3\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}
    যোজন-বিয়োজন করে (1+sin⁡θ)+(1−sin⁡θ)(1+sin⁡θ)−(1−sin⁡θ)=(2+3)+(2−3)(2+3)−(2−3)\dfrac{(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)}{(1+\sin\theta)-(1-\sin\theta)} = \dfrac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}
    বা 22sin⁡θ=423\dfrac{2}{2\sin\theta} = \dfrac{4}{2\sqrt{3}} বা 1sin⁡θ=23\dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}
    তাই sin⁡θ=32=sin⁡60∘\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ।
    অতএব, θ=60∘\theta = \mathbf{60^\circ}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন