গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   পরিধি $2\pi r = 25$ সেমি, তাই ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{25}{2\pi} = \dfrac{25}{2\times 3.1416} \approx \mathbf{3.98}$ সেমি।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $C$ বৃত্তের কেন্দ্র, $MN = OP$ এবং $MN \perp AB$, $OP \perp AB$ (চিত্রে সমকোণ চিহ্ন)। প্রমাণ করতে হবে $AC = BC$।
   অঙ্কন: $M, C$ এবং $O, C$ যোগ করি।
   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $MA = \dfrac{1}{2}MN$ ও $OB = \dfrac{1}{2}OP$। যেহেতু $MN = OP$, তাই $MA = OB$।
   সমকোণী $\triangle MAC$ ও $\triangle OBC$ এ অতিভুজ $MC = OC$ (ব্যাসার্ধ) এবং $MA = OB$।
   তাই $AC = \sqrt{MC^2 - MA^2} = \sqrt{OC^2 - OB^2} = BC$।
   অতএব, $AC = BC$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $MN > OP$ হলে প্রমাণ করতে হবে $AC < BC$।
   প্রমাণ: $MA = \dfrac{1}{2}MN$ ও $OB = \dfrac{1}{2}OP$। $MN > OP$ হওয়ায় $MA > OB$, তাই $MA^2 > OB^2$।
   সমকোণী $\triangle MAC$ এ $AC^2 = MC^2 - MA^2$ এবং $\triangle OBC$ এ $BC^2 = OC^2 - OB^2$।
   $MC = OC$ (ব্যাসার্ধ), তাই $MC^2 = OC^2$। অতএব $MC^2 - MA^2 < OC^2 - OB^2$ বা $AC^2 < BC^2$।
   অতএব, $AC < BC$। (প্রমাণিত)