গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ঘনকের এক পৃষ্ঠের কর্ণ $= a\sqrt{2}$ (যেখানে $a$ ধারের দৈর্ঘ্য)। $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, তাই $a = 2$ সেমি।
   সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6\times 4 = \mathbf{24}$ বর্গ সেমি।

2. খ)

   ধরি ভূমি $= b$ সেমি। সমান বাহু প্রতিটি $= \dfrac{2}{3}b$ সেমি।
   পরিসীমা: $b + 2\times\dfrac{2b}{3} = 6$ বা $\dfrac{7b}{3} = 6$ বা $b = \dfrac{18}{7}$ সেমি।
   সমান বাহু $= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{18}{7} = \dfrac{12}{7}$ সেমি।
   উচ্চতা $h = \sqrt{\left(\dfrac{12}{7}\right)^2 - \left(\dfrac{9}{7}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{144-81}{49}} = \dfrac{\sqrt{63}}{7} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}$ সেমি।
   ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{18}{7}\times\dfrac{3\sqrt{7}}{7} = \dfrac{27\sqrt{7}}{49} \approx 1.46$
   অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\mathbf{\dfrac{27\sqrt{7}}{49}}$ বর্গ সেমি (প্রায় ১.৪৬ বর্গ সেমি)।

3. গ)

   ত্রিভুজের পরিসীমা $6$ সেমি, তাই রম্বসের একটি কর্ণ $d_1 = 6$ সেমি।
   ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}d_1 d_2 = 24$ বা $\dfrac{1}{2}\times 6\times d_2 = 24$ বা $d_2 = 8$ সেমি।
   রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধ-কর্ণ $3$ সেমি ও $4$ সেমি।
   রম্বসের বাহু $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।
   পরিসীমা $= 4\times 5 = \mathbf{20}$ সেমি।