গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $(\sqrt{5})^{x+1} = (\sqrt[3]{5})^{2x-1}$
   বা, $5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}$

   ভিত্তি সমান, তাই সূচক সমান: $\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{2x-1}{3}$
   বা, $3x + 3 = 4x - 2$
   সুতরাং $x = \mathbf{5}$

2. খ)

   $A = \left(\log_{10} 3\sqrt{3} - \log_{10}\dfrac{1}{8} - \log_{10} 10\sqrt{10}\right) \div \log_{10} 1.2$

   বন্ধনীর ভেতরে:
   $\log_{10} 3\sqrt{3} = \log_{10} 3^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\log_{10} 3$
   $-\log_{10}\dfrac{1}{8} = \log_{10} 8 = 3\log_{10} 2$
   $\log_{10} 10\sqrt{10} = \log_{10} 10^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}$

   বন্ধনী $= \dfrac{3}{2}\log_{10} 3 + 3\log_{10} 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\left(\log_{10} 3 + 2\log_{10} 2 - 1\right)$
   $= \dfrac{3}{2}\left(\log_{10} 3 + \log_{10} 4 - \log_{10} 10\right) = \dfrac{3}{2}\log_{10}\dfrac{12}{10} = \dfrac{3}{2}\log_{10} 1.2$

   তাহলে $A = \dfrac{3}{2}\log_{10} 1.2 \div \log_{10} 1.2 = \dfrac{3}{2}$

   আবার $\sqrt{2.25} = 1.5 = \dfrac{3}{2}$

   সুতরাং $A \div \sqrt{2.25} = \dfrac{3}{2} \div \dfrac{3}{2} = 1$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $B = \dfrac{49^{p+1}}{(7^{p-1})^{p+1}} = \dfrac{7^{2(p+1)}}{7^{(p-1)(p+1)}} = 7^{2p + 2 - (p^2 - 1)} = 7^{-p^2 + 2p + 3}$

   $C = \dfrac{7^{p+1}}{(7^p)^{p-1}} = \dfrac{7^{p+1}}{7^{p(p-1)}} = 7^{p + 1 - p^2 + p} = 7^{-p^2 + 2p + 1}$

   $B \div C = 7^{(-p^2 + 2p + 3) - (-p^2 + 2p + 1)} = 7^2$

   $(B \div C) \times 7^{-2} = 7^2 \times 7^{-2} = 7^0 = \mathbf{1}$